Задачка по матану 1 курс

DDomanin

Народ, помогите, туплю.
Задачка 1 курса, есть в Демидовиче.
Почему
lim ( (ln n)/n) =0 на бесконечности.

griz_a

Ну, например по правилу Лопиталя.

DDomanin

Точно :)
А если до производных? В теме (1+1/n)^n=е?

dunkel68

не понял, за что минусы. а вообще это легко доказывается с помощью критерия Коши. сам только что на бумажке проделал.

Yansloka

сначала применяем правило лопиталя для функции (ln x)/x. получаем предел 0(при х->inf).
Отсюда сразу следует, что и для любой последовательности n->inf предел будет тот же

zzzXAXAXAzzz

если задачка для студента про ряд
а где в задаче вообще говорится про ряд :confused:

Yansloka

ну тогда действительно по т. Штольца:
последовательность a_n=n монотонно возрастает к бесконечности, предел( ln(n+1)-ln n)/(n+1-n)=ln(1+1/n)->0.
Значит и предел (ln n)/n тоже равен нулю

philnau

это легко доказывается с помощью критерия Коши
Мля, сколько чухни-то писать можно?
Критерий Коши вообще-то говорить ТОЛЬКО о сходимости, а не о пределе.
Если что-то другое имеется ввиду, то надо говорить об этом.

asseevdm

А мне кажется, что преподы в МГУ по большей части адекваты и не докапываются. Можешь решить задачу в одно действие — решай.

491593

логика вполне обоснованная. цель то не решить задачу любой ценой, а показать ( натренировать) владение методом.
Если например в задаче написано "вычислить интеграл с помощью замены переменной", а он и без замены считается, то это не означает, что ограничивается полет мысли студента.

wolf-cub

В этой задачке можно извращаться многими способами: Если не проходили правило Лопиталя, то можно сделать так:
Последовательность [math]$a_n=\frac{\ln n}{n}$[/math] ограничена снизу нулем. Докажем, что она не возрастает:
[math]$a_n>a_{n+1}: \frac{\ln n}{n}>\frac{\ln (n+1)}{n+1} \Longleftrightarrow \ln n^{n+1}>\ln (n+1)^n$  $$ \Longleftrightarrow \ln \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}>0  \Longleftrightarrow  \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}>1$$  $ \Longleftrightarrow \frac{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1$[/math].
Но известно, что последовательность [math]$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$[/math] ограничена сверху [math]$e$[/math].
Тогда: [math]$\frac{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>\frac{n}{e}>1$[/math] при [math]$n>3$[/math]
Тогда наша последовательность имеет предел. Пусть это не 0. Тогда для [math]$n_k=[e^k]$[/math]:
[math]$e^{k-1}<[e^k]\le e^k$[/math], наконец-то [math]$\frac{\ln n_k}{n_k}<\frac{k}{e^{k-1}}$[/math].
Поэтому наше предположение неверное. Т.к. на подпоследовательности [math]$n_k$[/math] она сходится к нулю.
Это решение слишком извращенное, но подходит даже для самых жестоких семинаристов.

DDomanin

Спасибо всем, и особенно .
Только не поняла в решении место:
последовательность ограничена сверху е, тогда .............. Если знаменатель увеличиваем, то дробь уменьшается же... знак неравенства должен быть в другую сторону.

wolf-cub

Если в дроби [math]$\frac{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$[/math] знаменатель [math]$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$[/math]заменить на большее число [math]$e$[/math], то дробь уменьшится, т.е. [math]$\frac{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$[/math] будет больше [math]$\frac{n}{e}$[/math]: [math]$\frac{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>\frac{n}{e}$[/math]

DDomanin

Спасибо, действительно туплю :o
Любопытство удовлетворено, тему можно закрывать.

zzzXAXAXAzzz

ну тебе не кажется, что если пишется буква n, то подразумаеваются натуральные числа, а если x — то все действительные?
и че? Если пишется n - то это предел последовательности! Где здесь ряд? Ты вообще знаешь, что такое ряд? :o
З.Ы. видимо не знаешь, вот поэтому и отхватил кучу минусов...

dunkel68

чёрт, а ведь и правда ряд с последовательностью перепутал

491593

что то не пойму. решение останавливается на пределе k/exp(k) который считается известным. почему сразу к нему не перейти заменой n= exp(k)?

Skilet3d

Потому что если сразу перейдем к этому предела без доказатьельства того что ln(n)/n убывает, то мы найдем тольтко предел подпоследовательности, а значит мы не может гарантировать что предел всей последовательности существует

491593

не понял вас наверное.
делаем замену n=exp(x) . если знаем что x/exp(x) стремиться к нулю то задача решена. поскольку то решение на этом шаге заканчивается, то считается что мы это знаем.

Skilet3d

не путайте функции с последователдьностями. если вы просто сделали замену то вы выбрали подпоследовательность и выяснили что она сзодится к 0, но отсюда не следует, что вся последовательность сходится к 0

491593

ладно, я видимо совершенно тебя не понял, а ты меня. иными словами говорим на разных языках. забей.

Alexx13

сначала применяем правило лопиталя для функции (ln x)/x. получаем предел 0(при х->inf).
Отсюда сразу следует, что и для любой последовательности n->inf предел будет тот же
+1. Для большей убедительности можно отметить, что
это так, согласно определению Гейне предела функции. ( Вместо x можно взять любую, расходящуюся к +бесконечности последовательность, все члены которой больше нуля. )

lenmas

наконец-то [math]$\frac{\ln n_k}{n_k}<\frac{k}{e^{k-1}}$[/math]
И почему отсюда следует, что предел нуль?

491593

И почему отсюда следует, что предел нуль?
ну зависит от того что автор решения предполагает известным. Предположим предел k/exp(k) равен нулю. Тогда..
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: