Задача про вероятность построения треугольника

tatikx

Помогите решить задачу по терверу.На отрезке L на удачу ставят две точки, делящие отрезок на три части.Какова вероятность, что из них можно построить треугольник?
Тот же самый вопрос, если берем три отрезка с длинами меньше L?

tatikx

Спасибо конечно за ответ, но мне важно решение, а не ответ!

Andrey56

Решение очень простое: либо можно, либо нельзя, 50 на 50.

angel_18

Гон полный. Удаляй, пока никто не увидел. 1/6 ответ.
ЗЫ 1/4

roman1606

ромб, полученный соединением середин сторон квадрата
особо понравилось

angel_18

Рисуешь квадрат со стороной L. Каждая точка квадрата сопоставляется разбиению отрезка.
Отмечаешь точки, для которых верно неравенство треугольника - это ромб, полученный соединением середин сторон квадрата. Его площадь равна половине площади квадрата.

А так:
Рисуешь треугольник. Каждой точке внутренности сопоставляешь 3 отрезка - перпендикуляры на стороны. Их длины сопоставляются с длинами сторон искомого треугольнива. Неравенство треугольника будет выполнено только в том случае, если точка попала в "центральный" тр., образованный соединением середин сторон. Его площадь - 1/4 площади всего.

tatikx

Народ, кто думает, что вероятность любого события 1/2(либо случится, либо не случится) просьба не писать. Тем более нужно строить не квадрат, куб.

a101

У тебя считается, что одна точка (например, первая) всегда левее второй. У него нет этой зависимости

a101

Хотя (я делал через квадрат тоже 1 / 4 получается
Просто надо более правильно понять, что за фигура. Там будет бабочка площадью одна чевертая от квадрата.

angel_18

У меня ничего не считается, т.к. я одну точку сопоставляю с одним разбиением.
ЗЫ решение первой задачи точно правильное, над второй сейчас думать не охота.

NHGKU2

Рисуешь треугольник. Каждой точке внутренности сопоставляешь 3 отрезка - перпендикуляры на стороны. Их длины сопоставляются с длинами сторон искомого треугольнива. Неравенство треугольника будет выполнено только в том случае, если точка попала в "центральный" тр., образованный соединением середин сторон. Его площадь - 1/4 площади всего.
А чего тогда 1/6 ответ?

tatikx

Чего-то я вас не понимаю, как можно делать через квадрат, если у нас меняются три параметра?

a101

Согласен. А вторую условие я не понял.

a101

У нас два параметра, так как сумма длин трех отрезков фиксирована (и равна стороне нашего квадрата).

tatikx

А как высоты в треугольнике из этой внутренних точек связаны со сторонами,то есть я понимаю что связаны
НО КАК ?

a101

Думаю потому, что сумма длин трех высот из любой точки равностороннего треугольника равна просто высоте в треугольнике. Поэтому можно сказать, что они задают соотвественно три кусочка нашего отрезка (он равен высоте треугольника).

tatikx

Чего непонятного "Какова вероятность, что из трех взятых наудачу отрезков, длины которых меньше L , можно построить треугольник?"

angel_18

, спасибо. Писал (и редактировал) невнимательно, это единственная причина

Andrey56

Надо построить пирамиду, получающуюся отсечением плоскостью от октанта.

a101

Ну тут как раз берем куб со стороной L. И берем в нем кусок образованный тремя полуплоскостями:
x + y >= z
y + z >= x
z + x >= y
Осталось понять его объем

tatikx

Ну а дальше то чего?

NHGKU2

Проще, я думаю, объяснить так.
|-------|-------|-------|
0xyL
Пусть сначала y>x.
Тогда наше условие таково:
x+(y-x)>L-y
x+(L-y)>y-x
(y-x)+(L-y)>x
Преобразовываешь систему, получаешь область:
y>L/2
x<L/2
x-y>-L/2
y>x.
Это треугольник с площадью L^2/8.
Аналогично поступаем для x>y, получаем треугольник, симметричный предыдущему относительно x=y.
Площадь области L^2/4.

a101

Мы из куба просто отсечем каждой из этих плоскостей тетраедр (углок) объемом 1 / 6. Останется объем 1 / 2. То есть ответ : 1 / 2

angel_18

Очень просто - множество высот в равностороннем треугольнике совпадает со множеством 3х отрезков, имеющих одинаковую суммарную длину, равную стороне треугольника.

arhlynx

надо на семинарах Волкова слушать лошня

NHGKU2

Это вписанный в куб тетраэдр, объем его - L^3/2.
// upd: не совсем, см. ниже

tatikx

А почему ты считаешь площадь треугольника
1)при X = L/2 и Y = L/2
2) X и Y перпендикулярны?

a101

Не совсем. Там еще углок останется. У вписанонго тетраедра объем - треть объема куба. А тут половина.

NHGKU2

Не понял вопрос.
Попробуй его переформулировать.

NHGKU2

Да, точно.
Останется уголок объемом L^3/6.
В итоге L^3/3 + L^3/6 = L^3/2.

tatikx

Если нарисовать это на плоскости, то получится квадрат (L/2)*(L/2)

NHGKU2

Этот квадрат получится, если учесть только y>L/2, x<L/2 из полученной системы неравенств.
А надо ещё наложить условия x-y>-L/2, y>x.

tatikx

Тьфу ты ! понял, че-то я торможу! Да площадь L^2/8

afony

Извиняюсь, если уже кто-то заметил до меня, но этой задаче посвящена Глава 34 "Вероятность и неоднозначность" книги М.Гарднера "Математические головоломки и развлечения". Все читаем Гарднера!

tatikx

А у тебя она есть? или в сети

angel_18

Все читаем мой пост - это из него решение

a101

Тебе объяснить, где у него ошибки?

afony

У меня-то точно есть, сейчас гляну и в электронном виде... Только не ждите многого - там по-моему далеко не все, чего вы хотите увидеть.

NHGKU2

web-страница
Только не спрашивай, как её оттуда скачать Логин и пароль - в факе.

afony

А я чего, я так - мимо проходил

tatikx

Если вы обсуждаете вторую задачу, то насчет угла понятно.Но какая будет вероятность?
(L^3 /6)/L^3 ?

NHGKU2

Да, вторую. Останется тетраэдр + уголок, в сумме их объем L^3/2.
Значит, вероятность нашего события равна (L^3/2)/L^3 = 1/2.

tatikx

А я и не спрашиваю. Скачай мне её ,если знаешь plz

afony

Только я скоро в оффлайн...

tatikx

Опять нихрена не понимаю ! Область всех событий это куб целиком. Ведь возможно что, все нои одновременно будут равны L.

NHGKU2

Блин, проще нарисовать, наверное

Жирными линиями выделены границы нужного многогранника.
(L,L,L) в него тоже попадает (является одной из вершин).

tatikx

Кажется понял. Спасибо за помошь
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: