Какова мощность множества всех мощностей?

Tfrn

Какова мощность множества всех мощностей?
Я понимаю, что вопрос не совсем корректен.
Это множество не определено однозначно, уже потому что в зависимости от выбора той или иной системы аксиом будет или не будет существовать множество промежуточной мощности между счетным и континуумом.
Более строго вопрос звучит так
Можно ли корректно определить множество всех мощностей (и что для этого нужно)?
Если ответ на первый вопрос утвердительный, то какова мощность этого множества, какие значения она может принимать?
Сразу извиняюсь если вопрос тривиальный, но и в этом случае, хотелось бы услышать ответ.

Vitaminka

Сообщение удалил

dimaxd

Что за чушь?
Спрашивается о мощности множества мощностей, а не о мощности множества всех подмножеств множества данной мощности.
Короче, я тебя не понял...

Vitaminka

но в натуре не воткнул

Vitaminka

думаю его мощность счетная

tachenka28

а я думаю, что исчисляемая

Vitaminka

что значит исчисляемая?

dimaxd

Я тоже так думаю.
Осталось только обосновать, что все мощности исчерпываются следующим индуктивным алгоритмом:
1) База: берем счетное множество.
2) На каждом последующем шаге берем множество всех подмножеств предыдущего множества (по теореме Кантора его мощность больше мощности самого множества).
Хотя возможно, это и неверно. Надо в умных книжках смотреть

Tfrn

Похоже вопрос оказался не совсем тривиальным?

Vitaminka

нет просто вначале учебного года никто думать не хочет

natalia

Могу оказаться голословным.
для этого надо понимать, что в данном случае подразумевается под словом мощность (сама мощность или тип мощности).
Тип мощности, по-моему, это весьма интуитивное понятие.
Я помню такие мощности: конечное, счетное, континуум, гипер-континуум (т.е. мощность множества разумно используемых мощностей = 4). Больше просто не используется.
Они плодятся друг через друга. Соответственно, если вдруг представить, что человек шутки ради начнет конструировать мощности по уже наработанному принципу, то их число будет соответствовать натуральному ряду. Соответственно, мощность счетная.
Если счесть, что мощности всех непринципиально различных (с точки зрения типа мощности) множеств различны, и мощности всех более примитивных типов мощности "растворяются" в мощностях более сложных типов, то можно предположить, что ответом будет - самая крутая по типу мощность в природе (а они конструируются бесконечно друг из друга). Получится, что ее не существует, как и самого большого числа.
В общем, все зависит от типов мощностей.
Так что получается бред какой-то.

Tfrn

А я специально вопрос придержал к сентябрю, а то летом на него вообще бы никто не ответил.
ЛОГИКИ ПРОСНИТЕСЬ!
Вопрос может быть и простой, но только ответить на него может тот, кто умные книжки читал.
Здесь знать что то нужно, "с нуля", мне кажется, эту задачу не решить.

Vitaminka

что-то не воткнул почему будет мощность самого крутого множества?
каждому множеству можно поставить в соответствие его мощность
соотвественно если множества равномощны (можно установить биекцию) то и мощности равны
про тип мощности тоже не воткнул
как строго определяется (а что определяется точно уверен) завтра попробую найти

Vitaminka

а кто сказал что с нуля?
что зря 4 курса учились что ли?

Tfrn

для этого надо понимать, что в данном случае подразумевается под словом мощность (сама мощность или тип мощности).

Я подразумевал под мощностью, вот что:
Два множества равномощны тогда и только тогда, когда существует биекция между ними.
Про "тип мощности" я ничего не понял , и надеюсь это к моему вопросу не относится.

Я помню такие мощности: конечное, счетное, континуум, гипер-континуум (т.е. мощность множества разумно используемых мощностей = 4). Больше просто не используется.
Они плодятся друг через друга. Соответственно, если вдруг представить, что человек шутки ради начнет конструировать мощности по уже наработанному принципу, то их число будет соответствовать натуральному ряду. Соответственно, мощность счетная.

Правильно ли я понимаю:
При условии, что не сушествует множества промежуточной мощности между счетным и континуумом, то множество всех мощностей определено однозначно, и исчерпывается приведенными в цитате рассуждениями.

Rumata

Осталось только обосновать, что все мощности исчерпываются следующим индуктивным алгоритмом:
1) База: берем счетное множество.
2) На каждом последующем шаге берем множество всех подмножеств предыдущего множества (по теореме Кантора его мощность больше мощности самого множества).
Ну на первом шаге это утверждение равносильно гипотезе континуума (поскольку хорошо известно ftp://elib.hackers/pub/data/vol2/archive/vereshagin1.djvu что мощность множества всех подмножеств счетного множества равна мощности отрезка, т.е. континууму). Значит это "доказать" в рамках стандартной системы аксиом Цермело - Френкеля невозможно (по теореме Коэна).

Rumata

Насчет самого большого кардинала попробуйте посмотреть здесь (web-page) (глава из брошюры http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=20 И. В. Ященко "Парадоксы теории множеств").

navstar

Я помню такие мощности: конечное, счетное, континуум, гипер-континуум
Конечных мощностей счётное количество

zuzaka

насколько я понимаю, в зависимости от точки зрения по поводу гипотезы континуума мы можем получить искомую мощность либо алеф-ноль, либо континуум. Впрочем, это мое интуитивное не доказанное мнение

stm7929259

Маслом по маслу...

Tfrn

насколько я понимаю, в зависимости от точки зрения по поводу гипотезы континуума мы можем получить искомую мощность либо алеф-ноль, либо континуум. Впрочем, это мое интуитивное не доказанное мнение

Мне тоже так кажется, но доказать ни то, ни другое не могу.

Rumata

Можно ли корректно определить множество всех мощностей (и что для этого нужно)?
Насколько мне известно (см например http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=20&page=11 кардиналы не образуют множества (точнее, образуют класс). Не знаю, определено ли понятие мощности для класса.

zuzaka

Алеф-ноль доказать несложно. Имеем мощности: 0, 1, 2, 3, ..., алеф-ноль, C, 2^C, 2^(2^C 2^(2^(2^C ...
И все.
Если между алеф-ноль и C есть конечное число мощностей, то получаеем опять же алеф-ноль. Если счетное - тоже. А вот если C, то я затрудняюсь. Интуитивно кажется, что C.

dimaxd

я об этом и говорил.
Почему мощность любого множества попадает в твой список?

zuzaka

потому что это один из возможных ответов на вопрос гипотезы континуума
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: