Пара вопросов про итерационные процессы

elektronik

) правильно я понимаю, что метод простой итерации --- это итерационный процесс вида:
x^{n + 1} = x^n + G * f(x^n где x^n \in R^k, G \in M_k(R det G \neq 0 ?!
2) Как понять сходится ли процесс x_{n + 1} = \frac {x_n^3 + 1}{20} ?!

Ksun

правильно я понимаю, что метод простой итерации --- это итерационный процесс вида:
x^{n + 1} = x^n + G * f(x^n где x^n \in R^k, G \in M_k(R det G \neq 0 ?!

Не совсем. x^{n + 1} = phi(x^n где разные условия на фи накладываются для различных нужд (сх-ся, не сх-ся процесс и т.д.)
Как понять сходится ли процесс x_{n + 1} = \frac {x_n^3 + 1}{20} ?!
Строишь графики y=\frac {x_n^3 + 1}{20} и y=x и смотришь по ним, для какого хо будет сх-ся процесс. Вроде если xo>x3, xo<x1, то процесс расходится, иначе сходится к х2 (где х1<х2<х3 - корни уравнения \frac {x_n^3 + 1}{20} = х)

elektronik

Я не очень понял про метод простой итерации --- можно поподробнее, скажем с примерами!
по поводу второго вопроса:
на семинарах у Лапшина эта задача решалась так: если \phi^{\prime}(x_0) < 1, то итерационный процесс x_{n+1} = \phi(x_n x_0 сходится.
Есть такая замечательная теорема Банаха (о [\lambda-]сжимающих отображениях)!
Так вот, если \| \phi^{\prime} (x) \| < \lambda, \lambda \in (0,1) , то y = \phi(x) [\lambda-] сжимающее отображение, значит, процесс x_{n+1} = \phi (x_n) сходится для любого x_0.
Но у нас процесс хитрее, поскольку \phi^{\prime}(x) не везде меньше 1 по модулю!
Так вот возникает вопрос: если \| \phi^{\prime}(x_0) \| < \lambda, \lambda \in (0,1 почему процесс сходится, то есть почему \| \phi^{\prime}(x_n) \| < \lambda, n \in N? Иначе, почему x_n не может выскочить на очередном шаге из множества, на котором \| \phi^{\prime}(x) \| < \lambda ?
ЗЫ я уже сдал зачёт 3 часа назад! но это всё равно интересно!

Ksun

Поздравляю! А ты из какой группы?
Насколько я понял то, что нам парил Лапшин, то метод простой итерации - это выражение н+1 приближение через ф-ию от н-го, чтобы корень x=phi(x) был тем корнем, что мы хотим найти. А условия налагаем в зависимости от задачи (или если в том виде, что записано у тебя, то для построения такой ф-ии фи).
Что касается второй задачи, то ты неправ, Лапшин ее решал не так А теорему Банаха он привел в этом случае для того, чтобы показать, что оно является достаточным, но НЕ необходимым условием сходимости.
А про вопрос, почему при выполнении теоремы Банаха процесс сх-ся, так это совсем просто: разлагаем в ряд Тейлора фи(хн-1) в точке у - нужный нам корень, вычитаем фи(у это равно (хн-у) и получаем, что хн-у<q(или лямбда у тебя)^(н-1х0-у) - значит, сходится
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: