[ММ] Структура сигма-алгебры в общем случае

svetik5623190

Пусть есть некоторое полукольцо множеств.
Структура минимального кольца, содержащего данное полукольцо, известна: это все дизъюнктные объединения элементов полукольца.
Более того, если на полукольце ввести меру, то, продолжая её по Лебегу за пределы полукольца, мы можем расширить область область определения этой меры до некоторого большего запаса множеств - до "множеств, измеримых по Лебегу". Оказывается, этот запас автоматически будет сигма-алгеброй, более того, удаётся конструктивно описать структуру таких множеств. Но это описание существенно зависит от того, какие множества имеют нулевую меру.
Возникает вопрос:
А можно ли в общем случае, без всяких там мер, универсальным убразом описать структуру минимальной сигма-алгебры (минимального сигма-кольца, минимальной алгебры содержащей исходное полукольцо? Можно ли получить что-то наподобие того, что мы знаем о структуре минимального кольца?
Больше всего интересует случай минимальной сигма-алгебры.

soldatiki

В Ульянов, Дьяченко "Мера и интеграл" приводится формула для представления множеств из сигма-алгебры, порождённой полуольцом и мерой (что-то типа пересечений объединений пересечений множеств из кольца и плюс некое множество меры ноль).
В общем же случае конструктивного описания нет. В книге Богачёв "Основы теории меры, часть 1" можно найти описание для борелевских множеств в R^n в терминах порядковых чисел и трансфинитной индукции.

svetik5623190

В Ульянов, Дьяченко "Мера и интеграл" приводится формула для представления множеств из сигма-алгебры, порождённой полуольцом и мерой (что-то типа пересечений объединений пересечений множеств из кольца и плюс некое множество меры ноль).
Правильно, что-то такое. Только не "плюс", а "минус". Но, как я и писал, тут важно, какие множества имеют меру нуль. А хочется без меры вообще.
В общем же случае конструктивного описания нет.
Это теорема, гипотеза или пожелание? )

soldatiki

Это жизненная теорема: если бы сколь-нибудь прозрачное описание было, оно наверняка вошло бы в курс действана. Но это не так. Следвателньо, описания нет.
Проще говоря: я такого не знаю => значит, такого нету

soldatiki

Николай Николаевич, а Вы как считаете?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: