помогите решить задачку
Значит не досчитываешь до победного, разница при x^7 начинается. Если подумать, то есть методы сократить работу очевидно
> series(tan(xx,8); series(sin(xx,8); series(sin(tan(xx,8); series(tan(sin(xx,8);
3 5 17 7 9
x + 1/3 x + 2/15 x + --- x + O(x )
315
3 5 7 9
x - 1/6 x + 1/120 x - 1/5040 x + O(x )
3 5 55 7 9
x + 1/6 x - 1/40 x - ---- x + O(x )
1008
3 5 107 7 9
x + 1/6 x - 1/40 x - ---- x + O(x )
5040
> series(arctan(xx,8); series(arcsin(xx,8); series(arcsin(arctan(xx,8); series(arctan(arcsin(xx,8);
3 5 7 8
x - 1/3 x + 1/5 x - 1/7 x + O(x )
3 5 7 8
x + 1/6 x + 3/40 x + 5/112 x + O(x )
3 13 5 341 7 8
x - 1/6 x + --- x - ---- x + O(x )
120 5040
3 13 5 173 7 8
x - 1/6 x + --- x - ---- x + O(x )
120 5040
>
Чего-то все равно муторно получается считать 
Я вроде поворочал синусами, привел все к виду попроще, но очень много членов один пень
Видимо, как-нибудь более хитро можно сократить вычисления.
Я вроде поворочал синусами, привел все к виду попроще, но очень много членов один пеньВидимо, как-нибудь более хитро можно сократить вычисления.
ты просто в ряды раскладываешь? а там вроде чтото еще в правиле лопиталя было(про производные)
Можно рядами, можно по Лопиталю, если охота пятиэтажные дроби упрощать. Может, будет попроще, если не сразу полностью в ряды раскладывать, а только внешние функции, скажем, sin(tg(x=tg(x)-tg^3(x)/6+... А потом брать столько слагаемых, сколько нужно. Неплохо еще заранеее знать разложение в ряд Маклорена арксинуса и арктангенса. Тангенс тоже выражается вроде через числа Бернулли или Эйлера.
Похожая задача в Демидовиче есть, только в знаменателе x^7.
ЗЫ Посчитал я тут на компьютере, если f,g -нечетные гладкие функции и коэффициент при первой степени x у них равен единице, то, если составить аналогичное выражение, числитель и знаменатель будут O(x^7 а предел всегда равен 1. Так что, может, есть более простой способ это доказать.
Похожая задача в Демидовиче есть, только в знаменателе x^7.
ЗЫ Посчитал я тут на компьютере, если f,g -нечетные гладкие функции и коэффициент при первой степени x у них равен единице, то, если составить аналогичное выражение, числитель и знаменатель будут O(x^7 а предел всегда равен 1. Так что, может, есть более простой способ это доказать.
Пусть f,g - гладкие нечетные, f'(0)=g'(0)=1
Тогда т.к.![[math]$f(x)=x+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+\frac{1}{3!}f^{(5)} x^5+O(x^7) $[/math]](mathimg.php?math=%24f%28x%29%3Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Df%27%27%27%280%29x%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Df%5E%7B%285%29%7D%20x%5E5%2BO%28x%5E7%29%20%24)
![[math]$$(f(g(x-g(f(x'=f'(g(xg'(x)-g'(f(xf'(x)=(f'(g(x-f'(xg'(x)-(g'(f(x-g'(xf'(x)=A(x)-B(x)$$ $$f'(g(x=f'(x)+f''(xg(x)-x)+\frac{1}{2}f'''(xg(x)-x)^2+O(x^7)$$ $$g'(f(x=g'(x)+g''(xf(x)-x)+\frac{1}{2}g'''(xf(x)-x)^2+O(x^7)$$ $$g'(x)=1+\frac{1}{2}g'''(0)x^2+O(x^4)$$ $$f'(x)=1+\frac{1}{2}f'''(0)x^2+O(x^4)$$ $$A(x)=(1+\frac{1}{2}g'''(0)x^2+O(x^4f''(xg(x)-x)+\frac{1}{2}f'''(xg(x)-x)^2+O(x^7=O(x^7)+(1+\frac{1}{2}g'''(0)x^2\frac{1}{3!}g'''(0)x^3+\frac{1}{5!}g^{(50)}x^5f'''(0)x+\frac{1}{3!}f^{(5)}(0)x^3+\frac{1}{2}f'''(0)\frac{1}{3!}g'''(0)x^3)= $$ $$O(x^7)+\frac{1}{3!}g'''(0)x^3(f'''(0)x+\frac{1}{3!}f^{(5)}(0)x^3+\frac{1}{2}f'''(0)\frac{1}{3!}g'''(0)x^3)+\frac{1}{5!}g^{(5)}(0)x^5f'''(0)x+\frac{1}{4}g'''(0)x^2\frac{1}{3!}g'''(0)x^3f'''(0)x$$[/math]](mathimg.php?math=%24%24%28f%28g%28x%29%29-g%28f%28x%29%29%29%27%3Df%27%28g%28x%29%29g%27%28x%29-g%27%28f%28x%29%29f%27%28x%29%3D%28f%27%28g%28x%29%29-f%27%28x%29%29g%27%28x%29-%28g%27%28f%28x%29%29-g%27%28x%29%29f%27%28x%29%3DA%28x%29-B%28x%29%24%24%0D%0A%24%24f%27%28g%28x%29%29%3Df%27%28x%29%2Bf%27%27%28x%29%28g%28x%29-x%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df%27%27%27%28x%29%28g%28x%29-x%29%5E2%2BO%28x%5E7%29%24%24%0D%0A%24%24g%27%28f%28x%29%29%3Dg%27%28x%29%2Bg%27%27%28x%29%28f%28x%29-x%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%27%27%27%28x%29%28f%28x%29-x%29%5E2%2BO%28x%5E7%29%24%24%0D%0A%24%24g%27%28x%29%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%27%27%27%280%29x%5E2%2BO%28x%5E4%29%24%24%0D%0A%24%24f%27%28x%29%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df%27%27%27%280%29x%5E2%2BO%28x%5E4%29%24%24%0D%0A%24%24A%28x%29%3D%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%27%27%27%280%29x%5E2%2BO%28x%5E4%29%29%28f%27%27%28x%29%28g%28x%29-x%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df%27%27%27%28x%29%28g%28x%29-x%29%5E2%2BO%28x%5E7%29%29%3DO%28x%5E7%29%2B%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%27%27%27%280%29x%5E2%29%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dg%27%27%27%280%29x%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%21%7Dg%5E%7B%285%29%280%29%7Dx%5E5%29%28f%27%27%27%280%29x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Df%5E%7B%285%29%7D%280%29x%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df%27%27%27%280%29%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dg%27%27%27%280%29x%5E3%29%3D%20%24%24%20%24%24O%28x%5E7%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dg%27%27%27%280%29x%5E3%28f%27%27%27%280%29x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Df%5E%7B%285%29%7D%280%29x%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df%27%27%27%280%29%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dg%27%27%27%280%29x%5E3%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%21%7Dg%5E%7B%285%29%7D%280%29x%5E5f%27%27%27%280%29x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dg%27%27%27%280%29x%5E2%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dg%27%27%27%280%29x%5E3f%27%27%27%280%29x%24%24)
Т.к. A и B отличаются перестановкой f и g, то слагаемое с x^4 уничтожится и останется
![[math]$x^6C + O(x^7)$[/math]](mathimg.php?math=%24x%5E6C%20%2B%20O%28x%5E7%29%24)
, где C - некоторая функция от третьих и пятых производных в 0 f и g.
Заметим, что для обратных функций верно все то же самое, только тут C будет такой же функцией от производных в 0 обратных функций. Если посчитать эти производные по-честному (в общем виде чуть хитрее, для арксинуса и арктангенса совсем просто то увидим, что они будут равны производным прямых функций, что и влечет равенство предела 1.
Тогда т.к.
Т.к. A и B отличаются перестановкой f и g, то слагаемое с x^4 уничтожится и останется
Заметим, что для обратных функций верно все то же самое, только тут C будет такой же функцией от производных в 0 обратных функций. Если посчитать эти производные по-честному (в общем виде чуть хитрее, для арксинуса и арктангенса совсем просто то увидим, что они будут равны производным прямых функций, что и влечет равенство предела 1.
а то что то правилом Лопиталя и разложением в ряд Тейлора не получаетсяЯ видел эту задачку в одной брошюрке Арнольда, где он как раз
приводил ее как пример задачи, с которой современные студенты, даже
успешно владеющие средствами мат. анализа, не в состоянии быстро
справиться. И не потому что они тормоза, а потому, что мыслят стандартно.
Между тем у нее есть изящное геометрическое решение, которое Арнольд там же
в брошюрке привел, но деталей которого я, к сожалению, не помню.
Попробуйте сообразить кто-нибудь.
Альтернативный вариант решения без подсчета производных:
Заметим, что для любых бесконечно малых при![[math]$x\to 0$[/math]](mathimg.php?math=%24x%5Cto%200%24)
функций ![[math]$\alpha(x)$ [/math]](mathimg.php?math=%24%5Calpha%28x%29%24%20)
и ![[math]$\beta(x)$ [/math]](mathimg.php?math=%24%5Cbeta%28x%29%24%20)
имеем ![[math]$$\sin(\alpha(x-\sin(\beta(x=2\sin\left({\alpha(x)-\beta(x)\over 2}\right)\cdot \cos\left({\alpha(x)+\beta(x)\over 2}\right)\sim \alpha(x)-\beta(x)$$ [/math]](mathimg.php?math=%24%24%5Csin%28%5Calpha%28x%29%29-%5Csin%28%5Cbeta%28x%29%29%3D2%5Csin%5Cleft%28%7B%5Calpha%28x%29-%5Cbeta%28x%29%5Cover%202%7D%5Cright%29%5Ccdot%20%5Ccos%5Cleft%28%7B%5Calpha%28x%29%2B%5Cbeta%28x%29%5Cover%202%7D%5Cright%29%5Csim%20%5Calpha%28x%29-%5Cbeta%28x%29%24%24%20)
и ![[math]$$\tg(\alpha(x-\tg(\beta(x=\tg(\alpha(x)-\beta(x\cdot(1+\tg(\alpha(x\tg(\beta(x\sim \alpha(x)-\beta(x)$$[/math]](mathimg.php?math=%24%24%5Ctg%28%5Calpha%28x%29%29-%5Ctg%28%5Cbeta%28x%29%29%3D%5Ctg%28%5Calpha%28x%29-%5Cbeta%28x%29%29%5Ccdot%281%2B%5Ctg%28%5Calpha%28x%29%29%5Ctg%28%5Cbeta%28x%29%29%29%5Csim%20%5Calpha%28x%29-%5Cbeta%28x%29%24%24)
(здесь эквивалентность функций означает, что предел их отношения при равен 1). Тогда ![[math]$$\sin\tg x - \tg\sin x \sim \arctg\sin\tg x - \sin x \sim \arcsin\arctg\sin\tg x - x$$[/math]](mathimg.php?math=%24%24%5Csin%5Ctg%20x%20-%20%5Ctg%5Csin%20x%20%5Csim%20%5Carctg%5Csin%5Ctg%20x%20-%20%5Csin%20x%20%5Csim%20%0D%0A%5Carcsin%5Carctg%5Csin%5Ctg%20x%20-%20x%24%24)
. То есть ![[math]$${\sin\tg x - \tg\sin x\over \arcsin\arctg x - \arctg \arcsin x} \sim {\arcsin\arctg y - \arctg\arcsin y \over \arcsin\arctg x - \arctg \arcsin x}$$[/math]](mathimg.php?math=%24%24%7B%5Csin%5Ctg%20x%20-%20%5Ctg%5Csin%20x%5Cover%20%5Carcsin%5Carctg%20x%20-%20%5Carctg%20%5Carcsin%20x%7D%0D%0A%5Csim%20%7B%5Carcsin%5Carctg%20y%20-%20%5Carctg%5Carcsin%20y%20%5Cover%20%5Carcsin%5Carctg%20x%20-%20%5Carctg%20%5Carcsin%20x%7D%24%24)
, где ![[math]$y=\sin\tg x$ [/math]](mathimg.php?math=%24y%3D%5Csin%5Ctg%20x%24%20)
. Так как при некоторых ![[math]$C$[/math]](mathimg.php?math=%24C%24)
и ![[math]$n$[/math]](mathimg.php?math=%24n%24)
имеем ![[math]$\arcsin\arctg x - \arctg \arcsin x\sim Cx^n$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Carcsin%5Carctg%20x%20-%20%5Carctg%20%5Carcsin%20x%5Csim%20Cx%5En%24)
, а ![[math]$y\sim x$ [/math]](mathimg.php?math=%24y%5Csim%20x%24%20)
, то ![[math]$${\arcsin\arctg y - \arctg\arcsin y \over \arcsin\arctg x - \arctg \arcsin x}\sim {Cy^n\over Cx^n}\sim 1$$[/math]](mathimg.php?math=%24%24%7B%5Carcsin%5Carctg%20y%20-%20%5Carctg%5Carcsin%20y%20%5Cover%20%5Carcsin%5Carctg%20x%20-%20%5Carctg%20%5Carcsin%20x%7D%5Csim%20%7BCy%5En%5Cover%20Cx%5En%7D%5Csim%201%24%24)
. Значит предел равен 1.
Заметим, что для любых бесконечно малых при
ребят, спасибо всем
Оставить комментарий
mikenirvana
задача №2 из математического тривиума арнольдаhttp://theory.asu.ru/~raikin/HN/arnold/arnold4.html
а то что то правилом Лопиталя и разложением в ряд Тейлора не получается