Случайные процессы: две задачки

stream_24

Подскажите, пожалуйста, как решить следующие две задачи, используя лишь определения используемых процессов:
1) доказать, что для броуновского движения с [math][res=100]{\begin{equation*}\sigma^2(X(t=t, X(0)=0\end{equation*}}[/math] выполнено [math][res=100]{\begin{equation*}M\{X(t)X(s)|X(0)=0\}=\min\{t,s\}\end{equation*}}[/math]
2) рассматривается процесс Юла с параметром [math][res=100]{\begin{equation*} \beta \end{equation*}}[/math] и начальным состоянием [math][res=100] N=1 [/math]. Предполагается, что первый индивидуум может погибнуть, причём вероятность гибели в [math][res=100](t,t+h) [/math] при условии, что индивидуум не погиб до момента [math][res=100] t [/math], равна [math][res=100]{\begin{equation*}\mu h + o(h) \end{equation*}}[/math]. Требуется найти вероятность того, что общее число потомков всех поколений в момент гибели "родоначальника" равна [math][res=100] n [/math].

griz_a

) Пусть t>s
[math]$MX(t)X(s)-MX(t)MX(s)=M(X(t)-X(sX(s)+MX(s)^2-0=0+s$[/math]

stream_24

Да, спасибо, уже разобрались!
а по второй подскажешь что-нибудь?;)

griz_a

Без учета смертности:
[math]$P_n(t+h)=P_n(t1-n\beta h+o(h+P_{n-1}(n-1)\beta h + o(h)$[/math]
(Вероятность того, что на t+h момент ровно n потомков равна сумме вероятностей того, что в t момент было n частиц и размножения за время h не было, того, что в момент t было n-1 частица и было 1 размножения и вероятности того, что было n-k частиц и было k размножений, последняя есть O(h^2)=o(h
Имеем дифур
[math]$ P_n'(t)=-n\beta P_n(t)+(n-1)\beta P_{n-1}$[/math]
Есть начальные условия, что в начале одна частица. Имеем решение
[math]$P_n(t)=e^{-\beta t}(1-e^{-\beta t})^{n-1}$[/math]
Ну и давайте теперь посчитаем вероятность того, что частица умерла, когда было n частиц.
Х - момент смерти, S_t - число частиц
Эта вероятность
[math]$P(n)=\int_{R^+} P(X \in ds, S_s=n)=\int_{R^+} P(X \in ds)P(S_s=n)  $[/math]
[math]$P_x(t+h)=P(X>t+h)=P(X>t1-\mu h) + o(h)$[/math]
[math]$P'_x(t)=-P_x(t) \mu$[/math]
[math]$P_x(t)=e^{-\mu t}$[/math]
[math]$P(n)=\int_{R^+} \mu e^{-mu s} e^{-\beta s}(1-e^{-\beta s})^{n-1} ds = \mu \int_{R^+} e^{-(\mu+\beta) s}(1-e^{-\beta s})^{n-1} ds =\frac{\mu}{\beta} \int_{0}^{1} e^{-\mu s}(1-e^{-\beta s})^{n-1} de^{-\beta s}=\frac{\mu}{\beta} B(1+\frac{\mu}{\beta},n)$[/math]

stream_24

а прокомментировать вторую часть можешь? Что означает P(x\in ds) в интеграле?

griz_a

[math]$P(X \in ds)=lim_{t \rightarrow 0} P(X \in (s,s+t/t$[/math]. Суть плотность :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: