[Алгебра] Ранг и минимальное число генераторов модуля над кольцом

BoBochka

(1) Возможно, кто-то из участников форума знает, как лучше лучше посчитать минимальное число генераторов конечнопорожденного модуля над кольцом главных идеалов (полиномов Лорана).
Я нашел в учебнике по алгебре, что вроде бы такой модуль разлагается в сумму подмодулей аналогичную сумме для конечнопорожденных абелевых групп, но вот как потом вычислить минимальное число генераторов, используя это разложение, или можно ли это сделать с помощью матрицы представления этого модуля, я пока не понимаю.
(2) И еще вопрос: верно ли, что ранг $[math]A[/math]$ -модуля $[math]M[/math]$ отличается от минимального числа генераторов этого модуля и может быть определен как
$[math]$rank(M) = dim_{K} M {\otimes}_A K$[/math]$ , где поле $[math]K=Frac(A)[/math]$ — поле частных кольца $[math]A[/math]$ ? Или в алгебре принято другое определение ранга модуля?

toxin

А кольцо полиномов Лорана евклидово?
Для евклидовых колец алгоритм следующий:
Выбираем элемент с наименьшей нормой. Переносим его в самый верх. Далее начинаем обнулять элементы в том же столбце. Если, допустим, $[math]$a_{21}$[/math]$ не нулевой, то считаем $[math]$(a_{11},a_{21})=b=x_1 a_{11}+y_1 a_{21}, 0=x_2 a_{11}+y_2 a_{21}, x_1 y_2-x_2 y_1=\pm 1$[/math]$ с помощью алгоритма Евклида. Затем заменяем строчки на линейные комбинации. Норма $[math]$a_{11}$[/math]$ уменьшается, $[math]$a_{21}$[/math]$ обнуляется.
Затем обнуляем все элементы в первой строке, потом снова в первом столбце и.т.д. пока норма $[math]$a_{11}$[/math]$ не перестанет уменьшаться и все элементы не обнулятся. Остается решить задачу для подматрицы.
Я применял этот алгоритм для матриц из целых чисел и работал он не быстро, а промежуточные числа были огромными. Есть совершенно другой хороший алгоритм для целых чисел - LLL, но я не знаю можно ли его обобщить для полиномов и полиномов Лорана.

BoBochka

А кольцо полиномов Лорана евклидово?

Вроде бы евклидово, ведь это те же самые полиномы с одной переменной, но с дополнительными множителями — обратимыми элементами $[math]$t^{\pm 1}$[/math]$ .

Для евклидовых колец алгоритм следующий:
Выбираем элемент с наименьшей нормой ...

Если я правильно понял, мы берем некий начальный набор порождающих элементов модуля (их найдется конечное число, т.к. модуль является конечнопорожденным а потом хотим взять еще один набор, чтобы выразить его через первый и получить матрицу из элементов евклидова кольца?
То есть я не совсем понял, откуда мы возьмем исходную матрицу, составленную из элементов евклидова кольца, или что примем за стартовый набор порождающих элементов модуля при поиске минимального (по числу элементов) порождающего набора?

BoBochka

То есть я не совсем понял, откуда мы возьмем исходную матрицу

Или мы берем в качестве строк (или столбцов) этой матрицы соотношения, по которым факторизуем свободный модуль, построенный на каких-либо порождающих исходного модуля, для того, чтобы получить исходный модуль?
То есть сам исходный модуль представляем в виде матрицы с размерами (кол-во образующих) X (кол-во соотношений).

toxin

В матрицу записываем порождающие вектора.

toxin

Вроде бы евклидово, ведь это те же самые полиномы с одной переменной, но с дополнительными множителями — обратимыми элементами .

У полиномов норма - это степень. А у полиномов Лорана я не уверен. Наверно разница между наибольшей и наименьшей степенью монома.

BoBochka

А у полиномов Лорана я не уверен. Наверно разница между наибольшей и наименьшей степенью монома.

Да, она. Можно проверить свойство нормы о делении с остатком.
Пусть $[math]$a = t^{k}a`, b = t^{l}b` \in \mathbb{Z}[t^{\pm 1}], b \neq 0$[/math]$ , где $[math]$a`,b`\in \mathbb{Z}[t], k,l\in \mathbb{Z}$[/math]$
Тогда найдутся $[math]$ q,r: a`=qb`+r, N(r) < N(b`)$[/math]$ . Умножая это равенство на $[math]$t^{k}$[/math]$ ,
получим искомое свойство нормы, т.к. $[math]$N(t^{n}x) = N(x)$[/math]$ для любых $[math]$x\in \mathbb{Z}[t^{\pm 1}], n\in \mathbb{Z}$[/math]$ .

Оставить комментарий