Уравнение Дирака на языке современной математики

BoBochka

Читаю "Квантовые поля" Боголюбова, Ширкова и вижу кучи формул, агрессивно давящие на сознание.
Нельзя ли на языке современной математики просто и ясно сформулировать теорию Дирака? Имеется волновая функция [math]$\psi (x,t)$[/math] на пространстве Минковского [math]$(x,t)$[/math]. Она принимает значения в каком-то линейном пространстве [math]$X$[/math]. Но в каком?
Таким образом, [math]$\psi$[/math] — это сечение некоторого расслоения с базой пространством Минковского и слоем [math]$X$[/math], но какая группа у этого расслоения? И как вообще можно максимально просто записать уравнение Дирака, желательно в инвариантном виде? Можно или нельзя задать это сечение [math]$\psi (x,t)$[/math], являющееся решением уравнения Дирака, через некоторую связность на упомянутом расслоении со слоем [math]$X$[/math]?

marina1206

Во-первых, стоит определится о какой теории Дирака идет речь. Волновая функция такая же как в квантовой механике, в теории поля не существует. А если речь о книге Боголюбова и Ширкова, то там речь, конечно же, идет именно о поле. Далее, поля в принципе определяются своими трансформационными свойствами по отношению к группе Пуанкаре (являющейся группой симметрии пространства Минковского). А именно, все физические поля, которые ассоциируются с частицами, преобразуются по ее представлениям. На языке современной математики уравнения движения, в том числе и Дирака, есть уравнения как раз выделяющие неприводимые представления группы Пуанкаре.
А уравнение Дирака с этой точки зрения имеет наиболее естественный вид в спинорной форме, где явно подчеркивается, что поле Дирака преобразуется по представлению [math]$(1/2,0)\oplus (0,1/2)$[/math] и используются соответствующие спиноры и коспиноры.
Во-вторых, я конечно не математик, но, по-моему, расслоения не имеют отношения к группе Лоренца в теории поля. Они могут быть использованы для описания локальных калибровочных симметрий, являющихся дополнительными и "внутренними" (например, SU(2)xU(1) — электрослабая теория).

stm7543347

Я правильно понимаю, что под языком современной математики ITT понимаются деяния святых апостолов и материалы I Константинопольского собора? :book:

BoBochka

Во-первых, стоит определится о какой теории Дирака идет речь.
Предлагаю для простоты забыть про рождения и уничтожения частиц, которые описываются в рамках КТП. Считаем, что [math]$\psi (x,t)$[/math] — это не столбец из четырех операторов, действующих на гильбертовом пространстве состояний, а просто элемент некоторого 4-мерного комплексного линейного пространства [math]$X$[/math], к которому применяют 4-мерные комплексные матрицы [math]$\gamma^{\mu}$[/math]:
[math]$(\frac{ih}{2\pi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu} -mc) \psi = 0$[/math]
У меня был первый вопрос: что это за пространство [math]$X$[/math]? Вы ответили про некие "спиноры" и "коспиноры", но нельзя ли уточнить, какая это конкретно структура с точки зрения математики?
В уравнении Дирака на это загадочное пространство [math]$X$[/math] действуют матрицы [math]$\gamma^{\mu}$[/math], составленные из матриц Паули, которые в свою очередь порождают алгебру Ли, касательную в единице к группе Ли специальных унитарных преобразований двумерного комплексного пространства. Нельзя ли это как-то связать со "спинорами" и "коспинорами", о которых Вы упомянули?
Просто хочется внятной математической теории, а не темного выписывания формул, хотя бы в этом простейшем случае уравнения Дирака. :)

Sergey79

Просто хочется внятной математической теории, а не темного выписывания формул, хотя бы в этом простейшем случае уравнения Дирака
Ну я не знаю, не математик. Но вот в википедии пишут весьма наукообразно:
Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей Cl(E,Q над некоторым коммутативным кольцом (Е — векторное пространство, в дальнейшем обобщении — свободный K-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на E билинейной формой Q.
Уравнение Дирака — важный пример применения представлений CL_3,1(R

marina1206

Да, про квантовую теорию здесь спокойно можно забыть, это не имеет значения. Будем говорить о теории классического поля.
Прежде всего нужно понять, что поле есть функция (или набор функций заданная на пространстве Минковского и определяющаяся своими трансформационными свойствами по отношению к преобразованиям этого пространства. По другому это можно сказать так: поле преобразуется по представлению группы Пуанкаре, которая есть полупрямое произведение группы трансляций и группы Лоренца. А представление групп, как известно, задается на линейных пространствах. Вот пространство представления это и есть то, что Вы называете загадочным пространством [math]$X$[/math] .
Соответственно, я думаю, Ваш вопрос можно перефразировать следующим образом: как построить представление группы Пуанкаре, преобразующее Дираковские поля?
Я тезисно изложу как это делается. Пусть есть некоторая трансляция
 [math]$x^\prime = x - a$[/math]
и преобразование Лоренца [math]$\Lambda$ [/math]
Пусть наше поле есть набор функций (столбец) [math]$\psi_\alpha(x)$[/math].
Тогда при этих преобразованиях поле будет преобразовываться следующим образом:
 [math]  $  \psi^\prime_\alpha(x) = D_{\alpha\beta}(\Lambda) \;  \psi_\beta(\Lambda^{-1}(x-a  $   [/math]
где [math]$D_{\alpha\beta}(\Lambda)$[/math] есть некоторые матрицы, перемешивающие компоненты поля. Трансляции довольно просто представляются дифференциальными операторами (из-за этого, кстати, представления Пуанкаре бесконечномерны) , поэтому весь вопрос заключается в построении представлений группы Лоренца [math]$O(1,3)$[/math] , то есть матриц [math]$D_{\alpha\beta}(\Lambda)$[/math].
Наверное, самым математически строгим и "правильным" способом это сделать как раз и является представление с помощью алгебры Клиффорда, как уже сказали. Там [math]$\gamma$[/math] -матрицы будут образующие и так далее. Но среди не столь продвинутых физиков есть более наглядный что ли способ построения этих представлений. Он основывается на "поборе" накрывающей для группы Лоренца. Сначала показывают, что связная компонента единицы, ортохронная [math]$SO(1,3)$[/math] , дважды накрывается группой [math]$SL(2,\mathbb{C})$[/math] и поэтому можно рассматривать представления последней. Она имеет два не эквивалетных представления размерности 2: определяющее, называющееся спинорным и сопряженное, называющееся коспинорным. Далее, чтобы накрыть всю группу Лоренца, искусственно сооружают прямую сумму спинорного и коспинорного представления с тем, чтобы руками ввести операторы, накрывающие отражения, которыми и оказываются разные комбинации [math]$\gamma$[/math] -матриц.
Так вот тот самый биспинор Дирака (теперь должно быть уже понятно почему он биспинор) таким образом находится в линейном пространстве прямой суммы двух не эквивалентных представлений специальной линейной группы. И тот факт, что [math]$\gamma$[/math] -матрицы "собираются" из матриц Паули тоже отражает выше сказанное.

BSCurt

То что преобразуется вот так
 [math]  $  \psi^\prime_\alpha(x) = D_{\alpha\beta}(\Lambda) \;  \psi_\beta(\Lambda^{-1}(x-a  $   [/math]
при замене координат (этот же смысл несет действие группы Пуанкаре) - не есть функция, не так ли?

dinar

Читаю "Квантовые поля" Боголюбова, Ширкова
а что,Дирака нельзя открыть? он даже переведен.
Зачем искать сложности (расслоения если решение всегда находят (если находят) как функцию? То есть сечение тривиального расслоения

BSCurt

Зачем искать сложности (расслоения если решение всегда находят (если находят) как функцию? То есть сечение тривиального расслоения
Это кстати и отличает физиков говнарей от математиков.

Lene81

при замене координат (этот же смысл несет действие группы Пуанкаре) - не есть функция, не так ли?
В pristine определении — нет. Но ты можешь считать, что вектор-столбец функций есть просто коэффициенты Фурье по некоторой *конечной* полной системы векторов в гильбертовом пространстве некоторой дополнительной (скрытой, внутренней) переменной, например спиновой.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: