Следует ли из двойственности Пуанкаре

blackout

что в любом представлении сферы S^n в виде CW комплекса четное число клеток?

blackout

Видимо не следует, может быть нечетное число клеток размерности n/2.

BSCurt

Э я как бы не понимаю как это следует из двойственности Пуанкаре, она обычно доказывается путем построения двойственного разбиения (и из того факта что (ко)гомологии не зависят от разбиения).

blackout

Ну типа из двойственности следует, что клетке n-k соответствует клетка k, значит клеток четное число. Но это видимо работает не для любого клеточного разбиения (для любого используется независимость гомологий от разбиения) и кроме того есть проблема с клетками n/2.

BSCurt

Ну типа из двойственности следует, что клетке n-k соответствует клетка k, значит клеток четное число.
Ну вот как бы по такой логике это должно быть верно для любого многообразия. Вообще как я уже сказал двойственность Пуанкаре доказывают через построение двойственного клеточного разбиения в котором как раз каждой k клеткe соответствует n-k коклетка (и по умолчанию это два разных клеточных комплекса а дальше используют независимость (ко)гомологий от клеточных разбиений.
Как раз если можешь доказать что всех остальных четное число то из формулы эйлеровой характеристики получишь и то что для сферы четное число клеток n/2.
Хотя сам факт может и верным быть.

BSCurt

Доказательство сего факта такое
Эйлерова характеристика для n-мерного многообразий(хотя всй дальнейшее вообще для любого CW-комплекса тоже верно) $M_n$
[math] $\chi(M_n)=\sum_{i=0}^n (-1)^i N_i $[/math]
где [math] $N_i$[/math] число клеток размерности i
Общее число клеток:
[math]$ N=\sum_{i=0}^{n} N_i$[/math]
Видно что эйлерова характеристика отиличается на четное число от общего числа клеток
[math]$\chi(M_n) - N = 2\sum_{i=0}^{[n/2]} N_{2i}$  [/math]
Ну собственно из этого и следует результата.

blackout

Круто.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: