Задачка [функан]

philnau

Как доказать, что пространство
{A*x + y: x>=0 и y>=0},
(где A - любая прямоугольная матрица и сравнение с нулем имеется ввиду покомпонентно)
замкнуто?

Ionized

Множество, написанное тобой, - это в точности R^n. Или R-бесконечность в случае бесконечных векторов x,y. Поэтому и в том, и в другом случае оно, ест-но, замкнуто относительно евклидовой нормы. Или замкнутость исследуется относительно другой нормы?
апд: тьфу, черт.
я, кажется зря подумал, что A - любая, а x и y - фиксированы?
в задаче, наверное, подразумевается, что A - произвольная фиксированная матрица, а x и y не фиксированы...
если да, то этот случай завтра попробую решить.

philnau

A - произвольная фиксированная матрица, а x и y не фиксированы
Да, именно это имелось ввиду. Что-то пробую, пробую, но ничего не получается :-(

iri3955

Пусть A - квадратная невырожденная, тогда множество Ax - аффинное преобразование неотрицательного квадранта - замкнутое множество.
Если вырожденная, то проекция какого-то аффинного преобразования на линейное подпространство - так же замкнуто.
Если не квадратная, то заполняем до квадрату нулями (а также вектор x) - получаем проекция аффинного преобразования неотрицательного квадранта подпространства - опять замкнуто.
Здесь использовалось:
1. Неотрицательный квадрант замкнут.
2. Проекция замкнутого множества на линейное подпространство замкнуто (в частности, квадрант подпространства замкнут в пространстве)
3. Аффинка переводит замкнутое множество в замкнутое (это, видимо, только для конечномерного, но у нас именно такое)
Таким образом, Ax - замкнуто. Неотрицательный квадрант замкнут, значит, Ax+y - есть сумма по Минковскому 2х замкнутых множеств,
которая, к сожалению, может быть незамкнута (вроде бы но заметим, что так как квадрант {y | y>=0}есть сумма по Минковскому образующих лучей
l^i = {y| y_i>=0,y_j=0,i<>j}, то
{Ax+y | x>=0, y>=0} = {Ax | x>=0} + {y | y>=0} = {Ax | x>=0} + (l^1 + l^2 + ... + l^n) = (...{Ax | x>=0} + l^1) + l^2) + ... + l^n).
{Ax | x>=0} задаётся ситемой нестрогих неравенств. Нетрудно заметить, что если множсетво обладает этим свойством, то и сумма его с замкнутым
лучом будет обладать тем же свойством, а значит и множество {Ax+y | x>=0, y>=0} задаётся ситемой нестрогих неравенств, а значит замкнуто
Сумма по Минковскому: A + B = {x | x = a + b, a принадлежит A, b принадлежит B}

incwizitor

я конечно не спец по функану, но мне кажется, что это пушкой по воробьям.
может, от определения замкнутого надо плясать?

iri3955

Ну, не вышло...

philnau

Афигеть Ну ты мозг...
Я тоже очень долго пытался по определению, но ничего не вышло
Спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: