[Компл.ан.] Как разложить в ряд Лорана функцию...

NHGKU2

/sin(z) в окрестности точки z=0?

demiurg

Если сам ряд нужен, то мэпл раскладывает
1*z^(-1)+1/6*z+7/360*z^3+31/15120*z^5+O(z^6)

NHGKU2

Спасибо, но мне хотелось бы в общем виде, т.е. формулы для коэффициентов
Найти их по общей формуле (деленный на 2\pi*i интеграл от f(z) / z^{n+1}dz) не получается что-то...

NHGKU2

Я думал попробовать методом неопределенных коэффициентов: представить 1/sin(z) = \sum_{-\infty}^\infty c_n z^n, а затем умножить на известный ряд для синуса, из полученного искать коэффициенты — но тоже что-то не выходит.

demiurg

Ну, сразу понятно, что коэффициенты при отрицательных степенях все нулевые, кроме первого, после чего можно раскладывать в ряд Тейлора функцию z/sin(z). Правда, выражение для n-ной производной в точке 0 в общем виде все равно будет сложно получать, тем более, там постоянно надо будет пределы брать...
Думаю, магического мега-способа избежания этого геморроя не существует, ну, кроме Мэпла, конечно.
P.S. Вообще, о том, какими способами можно в ряд Лорана, у меня довольно смутные воспоминания...

lenmas

При разложении получаются коэффициенты, связанные с числами Эйлера. Читай Маркушевича "Краткий курс истории карапузов"

seregaohota

/sin(z) имеет в нуле полюс 1 порядка, нечётная как и sin(z положив
1/sin(z) = С_{-1}/z + C_1 z + C_3 z^3 + ...
sin(z) = z - z/3! + z/5! - z/7! + ...
перемножая получишь =1
( ... + C_3 z^3 + C_1 z + С_{-1}/z ) * ( z - z/3! + z/5! - z/7! + ... ) = 1
С_{-1} = 1
C_1 - С_{-1}/3! = 0
C_3 - C_1/3! + С_{-1}/5! = 0
......
откуда
С_{-1} = 1
C_1 = С_{-1}/3!
C_3 = C_1/3! - С_{-1}/5!
C_5 = C_3/3! - С_1/5! + С_{-1}/7!
C_7 = C_5/3! - С_3/5! + С_1/7! - С_{-1}/9!
.......
С_{-1} = 1
C_1 = 1/6
C_3 = 7/360
C_5 = 31/15120
.......
все C очевидно положительные, сходимость в кольце 0 < |z| < pi, т.е. до ближайшей особой точки 1/sin(z)

NHGKU2

Всем спасибо. Ничего красивого из этого действительно не выйдет.
Я тут накопал в Евграфове общую формулу

где B_n — некие "числа Бернулли", определяемые офигеть как.
Так что всем thanks, вопрос больше не актуален, похоже

svetik5623190

Думаю, магического мега-способа избежания этого геморроя не существует, ну, кроме Мэпла, конечно.
Класс!
Кстати.
Числа Бернулли определяются как суммы некоторых рядов, зависящих от n как от параметра. Причём существует несколько способов задать числа Бернулли.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: