[функан] 2 задачи

Mike3

Помогите плз решить кто-нибудь!
1. На пространстве непрерывных функций на отрезке [a;b] задан линейный функционал F(f)=f(x0 где x0 лежит на отрезке [a;b]. Показать, что этот функционал ограничен.
2. Показать, что оператор А, отображающий пространство C непрерывных функций в себя по правилу A(f(x = [интеграл от a до x (f(t)dt)] - линейный и ограниченный. Найти его норму.

vital_m

Первая --- очевидна.
|A f| = |f(x0)| \le sup |f(x)| = \| f \|

Mike3

а что такое \| и \le ?

Katty-e

Вторая тоже : линейность следует из определения ( функционал от фуммы есть сумма функционалов а поскольку в пространстве непр.ф. норма - максимум, то пишем
| A(f) |=| integral_a_to_b f|<=integral_a_to_b | f | <=max |f|*(b-a)
и на функции, тождественно равной 1, равенство достигается, то есть норма равна 1/(b-a).

Katty-e

less
less or equal

Mike3

там интеграл от а до x, где x переменная, то есть, насколько
я понимаю, норма будет 1/(x-a чего быть не может

Katty-e

Ну я тупой . Вот что ночь с человеком делает.
Тогда так :
|| A(f) || = max_t_in_a_to_b | integral_a_to_t f(s)ds | <= max_t_in_a_to_b ( integral_a_to_t |f(s)|ds ) <= max_t_in_a_to_b ( integral_a_to_b |f(s)|ds ) <= integral_a_to_b ( max_t_in_a_to_b |f(t)| ) = (b-a) ||f||
и равенство достигается на f=1.

Mike3

Нет, это я тупой, а тебе спасибо!
А C - это точно непрерывные на отрезке функции?
И если нет, то почему мы имеем право рассматривать отрезок?

satyana

на отрезке - это C[a,b]
А здесь, видимо, C(-inf, inf) но у тебя какое-то a фигурирует в интеграле...

Mike3

а что из того, что а? я просто тупой совсем и мануал по диагонали читал
мне вот интересно, почему мы отрезком все ограничить можем

Mike3

ладно, спасибо всем. 5-ки уже стоят!
ща еще мануал почитаю слегка и можно сдавать
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: