Задача по теории чисел

dima07

(2/p)=(3/p)=(5/p)=(7/p)= -1.Док-ть что сумма всех P<=x ~ (pi(x)/16) При x->беск

Vitaminka

нихера не понял что ты здесь пытался написать

electricbird

>нихера не понял
ты хотел кого-то этим удивить?

dima07

(а/p)-символ Лежандра ,который равен 1 если x*x=a(mod p)имеет решения и -1 если не имеет.
pi(x)-кол-во простых чисел ~x/lnx.Вот и вся теория

dima07

Нужно доказать что при больших числах кол-во p удовлетворяющих нач.условиям экв.кол-ву простых чисел /16 в том же диапозоне.

Vitaminka

теперь понял,подумаю:)

dima07

Заранее благодарю.

Rumata

Для решения используйте Квадратичный закон взаимности (см. например Айерленд-Розен) и Теорему о плотности (см. Серр, "Курс Арифметики", стр.119).

Rumata

Да, кстати, обе книги есть на страничке http://www.ega-math.narod.ru/ (в разделе "Математические книги").

dima07

Благодарствую.Приду домой,попробую.

Rumata

Да, посмотрите вначале Предложение 14 на стр. 121 книжки Серра. Т.е. фактически Вам нужно показать независимость условий для 2, 3, 5, и 7 - отсюда и будет вытекать что требуемая плотность равна (1/2)^4=1/16.

dima07

Спасибо. В мире не без хороших людей. Не ожидал такого участия.

Rumata

Ну мне по правде говоря и самому интересно вспомнить. Вот кстати решение упрощенного варианта: Найти плотность простых чисел таких что (2/р)=-1 и (3/р)=-1. Т.к. (2/р)=(-1)^p^2-1)/8 то простые р, для которых 2 не является квадратичным вычетом, суть 3(mod8) или 5(mod8). Для тройки пользуемся квадратичным законом и находим что 3 не есть квадратичный вычет по модулю р т. и т.т. когда р сравнимо с 5(mod12) или 7(mod12). Оба условия на 2 и 3 выполняются при р сравнимых с 5 или 19 по модулю 24. Фи-функция Эйлера для 24 равна 8. Теперь пользуясь теоремой о плотности, получаем искомую плотность: 1/8+1/8=1/4.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: