Уравнение с частными производными

3acpahez

Объясните решение пожалуйста :
Пусть u(x,y) - характеристическая ф-я квадрата (-1,1)*(-1,1). Найти d2u/dy в смысле теории обобщенных функций.

3acpahez

Интуитивно понятно, что там дельта-функции получаться должны.

yurimedvedev

Простите за невежество, а что такое

u(x,y) - характеристическая ф-я квадрата (-1,1)*(-1,1)
?

rusgal

Видимо, 1 внутри фигуры, 0 вне.

svetik5623190

даже интересно - будут в этом случае равны смешанные производные по ху и ух )
Как делать:
1. по определению, т.е. функционал, интеграл, по частям его, получим некий функционал, потом второе дифференцирование и опять: функционал, интеграл, по частям его. Получишь некий функционал, он и будет ответом. Это - железный способ.
2. Проверить, можно ли дифференцировать тензорное произведение, и если да, то как. Ведь индикатор квадрата - это тензорное произведение индикаторов отрезков, а производная от индикатора отрезка [-1,1] это delta_{-1} - delta_{1}, где delta_{A} - дельта-функция, сосредоточенная в точке А.
Кстати, вот пока писал, понял: тут прямо настоящее произведение будет, то есть ф-я двух переменных (индикатор квадрата) представляется в виде произведения двух функций(индикаторов отрезков) одного переменного. Поэтому формально всё легко. Только не знаю, правильно ли. Ведь нельзя же множить обобщённые функции, вообще говоря.
Вот что я имею в виду:
F(x,y) =i(x) *i(y)
dF/dx =( delta_{-1} (x) + delta_{1}(x) ) * i(y)
dF/dy =( delta_{-1} (y) + delta_{1}(y) ) * i(x)
эти равенства имеют вполне конкретный смысл: обычная функция множится на обобщённую.
d2F/dy = ( delta_{-1} (x) + delta_{1}(x) ) * ( delta_{-1} (y) + delta_{1}(y) )
d2F/dydx = ( delta_{-1} (y) + delta_{1}(y) ) * ( delta_{-1} (x) + delta_{1}(x) )
А какой смысл имеют эти равенства, я сказать затрудняюсь.
Если кто напишет, как решать формально (как-нибудь не по определению, используя какую-то наёбку, чтобы легко было, короче но чтобы было правильно - мне будет интересно почитать.

lenmas

Что-то слишком сложно у тебя получается. Там должны получиться дельта-функции по углам (что у тебя и написано). И какая разница в каком порядке дифференцировать обобщенные функции, для пробных же функций смешанные производные равны. Лучше дифференцировать распределения как меры по направлениям. Тогда будет все понятно и нормально.

svetik5623190

какая разница в каком порядке дифференцировать обобщенные функции, для пробных же функций смешанные производные равны.
эх, а ведь точно )
Лучше дифференцировать распределения как меры по направлениям. Тогда будет все понятно и нормально.
Не любое распределение можно отождествить с мерой. Например, дельта-функция - это мера, имеющая атом весом 1 в той точке, где она сосредоточена. Но вот производная дельта-функции - уже не мера.
А как ты предлагаешь дифференцировать? По Фомину? По Скороходу? Вообще, интересно, конечно, будет ли производная Фомина меры представлять производную обобщённой функции, представлявшей меру...

lenmas

Вообще, интересно, конечно, будет ли производная Фомина меры представлять производную обобщённой функции, представлявшей меру...
В данном случае будет

soldatiki

будет чистый ноль, господа.

lenmas

Не-а, будут дельта-функции в нижнем левом и правом верхнем углах с коэффициентами +1 и дельта-функции в левом верхнем и правом нижнем углах с коэффициентами -1 По определению производной обобщенной функции.

3acpahez

Ты прав! Именно так и будет!
Всем спасибо!

soldatiki

точ-чно!
я ступил

vovatroff

ф-я двух переменных (индикатор квадрата) представляется в виде произведения двух функций(индикаторов отрезков) одного переменного. Поэтому формально всё легко. Только не знаю, правильно ли. Ведь нельзя же множить обобщённые функции, вообще говоря.
Для одной переменной есть проблемы с перемножением. Произведение же вида f(x)*g(y) для обобщенных функций вводится без проблем. Причем именно так, как интуитивно и
кажется разумным. Подробности см., напр., у Владимирова.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: