Асимптотика

zullu

Подскажите, пожалуйста, при нахождение асимптотики как в главном члене получить константу дзета:
[math]$\sum_{n \le x}\frac{1}{\phi(n)}$[/math]
ф - функция Эйлера.

assasin

Если совсем по-простому, то расписываешь
 [math]$$\frac1{\varphi(n)}=\frac1n\sum_{m:f(m)|n}\frac1m,$$[/math]
где [math]$f(m):=\prod_{p|m}p$[/math] (вроде бы одна из стандартных функций, но ни имени, ни обозначения не помню и меняешь порядок суммирования. В конечном итоге всё сводится к вычислению ряда с мультипликативной функцией, который считается стандартно через произведение по простым числам:
 [math]$$\sum_{m=1}^\infty\frac1{mf(m)}=\prod_p\sum_{l=0}^\infty\frac1{p^lf(p^l)}=\prod_p\frac{1-p^{-6}}{(1-p^{-2}1-p^{-3})}=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}=\frac{315\zeta(3)}{2\pi^4}.$$[/math]

lenmas

Я правильно понимаю, что f(p^l)=p? Тогда непонятно как просуммировалась сумма под знаком произведения во второй формуле.
P.S. Хотя не, понял, что если посокращать по формулам сокращенного умножения выражение дальше, то получится то, что нужно :grin:
P.P.S. В общем, я так и не разобрался в переходе от суммы по l к дроби, где 2-ая, 3-ая и 6-ая степень.

assasin

Я правильно понимаю, что f(p^l)=p?
Только при l>0.
Там после суммирования получается 1+(1/p^2)/(1-1/p) = (1-1/p+1/p^2)/(1-1/p что легко приводится к нужному виду (в числителе легко угадывается неполный квадрат разности, который как бы намекает на сумму кубов…).

lenmas

О, спасибо! Все вроде сходится. А то мучился, откуда там могло взяться p^2-p+1 :cool:

zullu

Спасибо большое,"", вы мне очень помогли.
Но я никак не могу разобраться в том, что как получилась сумма:
[math]$$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{mf(m)}$$[/math]
можете объяснить? Заранее спасибо :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: