Первообразные корни из единицы. Задача.

alkozlov

Подскажите, плз, как решить такую задачу:
Доказать, что если {t i}- аргументы первообразных корней степени n из 1 (т.е. корней, степени каждого из которых дают все корни то сумма cos(pt i)=0, если p- положительное целое число < n/abc...k, причем a, b...- все различные простые множители числа n. А также, если p= n/abc...k, то сумма cos(pt i)= [(-1)^m]*n/abс...k, где m- число простых множителей числа n.

stm7537641

Когда n есть степень простого p, то все вроде бы очевидно. Действительно, сумма примитивных корней степени p равна -1 (легко следует из того, что сумма всех корней данной степени из 1 равна нулю). Т.е. ∑_{r=1}^{p-1}cos({2πr}/p)=-1. Пусть теперь n=p^2. Тогда все не равные 1 корни степени n из 1 (сумма которых по-прежнему -1) разбиваются на примитивные корни степени p и p^2 из единицы, причем сумма первых равна -1 по доказанному. Значит, сумма примитивных корней степени p^2 из единицы равна нулю. Тогда по индукции то же верно для всех n=p^k, k>1.
Далее при возведении в степень p^s, s<k-1 из примитивных корней степени n=p^k получаем p^s групп примитивных корней степени p^{k-s}, где k-s>1, а значит их сумма равна нулю. Однако когда s=k-1, то получаем p^{k-1} групп примитивных корней простой степени p из единицы, сумма каждой из которых равна -1, т.е. сумма равна (-1)p^{k-1}=n/p, как и утверждалось в условии.

stm7537641

Далее покажем например что сумма примитивных корней степени n=pq, где p и q -- различные простые, равна 1. Все корни степени n из единицы (сумма их равна 0) разбиваются на 1) 1; 2) примитивные корни простой степени p из единицы (сумма которых равна -1); 3) то же для простого q; 4) примитивные корни степени pq из единицы.
Теперь покажем что для n=p^2q сумма примитивных корней степени n из 1 равна нулю. Там к указанным группам добавляются еще 5) примитивные корни степени p^2 из единицы (сумма которых равна нулю по доказанному ранее) и 6) примитивные корни степени p^2q из единицы.
Я думаю, идея доказательства общего утверждения теперь должна быть ясна.

alkozlov

Спасибо
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: