Площадь неправильных многоугольников

Hisstar

Подскажите, плз, книжку где бы методы/формулы расчета были простенько изложены.
Еще требуется про площади криволинейных (?) фигур, а то я курс 11ого класса школы про интегралы только помню
P.S. Это для решения 2х независимых задач. 1) Расчитать площади посадки различной конфигурации и определить оптимальный размер и конфигурацию посадки с учетом рельефа и проч. особенностей. 2) Опредлеить площадь фигуры, полученной пересечением заданных функций.

griz_a

Если тебе нужен именно оптимальный объем при фиксированных параметрах, то тут понадобится, скорее, вариационное исчисление. Его с курсом 11 класса можно понять, но трудно. Попробуй выложить здесь задачу.
С площадью фигуры, полученной при пересечении функций все просто -
Если у тебя две кривые, то интегрируешь обе функции, вычитаешь интегралы и берешь модуль.

Hisstar

Я не совсем полно понимаю, что такое вариационное исчисление (действительно без нормальной математики сложно понять).
Вот одна задача:
Требуется: вычислить оптимальную площадь посадки (максимальное количество баллов).
Дана ограниченная плоскость. Плоскость неоднородна по свойствам в разных точках: свойства каждой точки плоскости исчисленны в баллах от 0 до 100, где 0 означает препятсвие (посадка невозможна 1-99 - степень благоприятности посадки, 100 - точку, где посадка обязательна.
Для посадки определен максимальный и минимальный размер кластера точек: M и m, соотвественно.
Опыт показывает, что все точки будут сгруппированы в более-менее однородные кластеры и произвольно размещены по плоскости (принцип размещения точек с разными свойствами и их группировки не важен для решения задачи). Также опыт показывает, что кластер посадки всегда принимает форму неправильного многоугольника, а прочие кластеры точек могут принимать произвольную форму.
Условия можно вольно варьировать (размеры минимальных посадок, расположение кластеров с однородными свойствами и их размер). А общем, там практически все переменные, т.к. придется решение применять к полям разной топографии и проч.
При желании можно усложнить, заменив целевую функцию на минимальную стоимость посадки при наиболее благоприятных условиях. Стоимость - функция от периметра фигур посадки: чем меньше периметр, тем меньше стоимость при прочих равных. (мне по-любом решать вариант со стоимостями )

Lokomotiv59

мда... ничо не понял. Сформулируй более-менее четко постановку задачи, что дано, что надо найти, при каких ограничениях.

Hisstar

Дано:
L - ограниченная плоскость, сосотоящая из точек разных свойств:
k_i - препятствия, где i - счетное целое множество точек, принадлежащих плоскости L,
p_1_i, p_2_i, ..., p_n_i - свободное место, где n - степень благоприятности,
t_i - обязательная посадка.
X_1, X_2,...,X_с - посадки, где с - натуральное конечное множество.
X_с может состоять из точек p и t и ограничена минимальным размером m и максимальным размером M точек.
Все точки образуют однородные кластеры K, P_n, T, соответственно, произвольной формы.
X_c принимает форму только неправильных многоугольников, образованных прямыми.
Требуется:
определить оптимальный размер посадки: такой, чтобы площадь "стоила" максимальное количество баллов.

griz_a

а) В чем смысл k_n, если садить можно все равно только в p_n
б) В чем смысл обязательной посадки? Остальные что - необязательные

Hisstar

а) Самый простой вариант - посадить в каждой точке, k - это препятствия, они создают сложный рисунок фигур.
б) Остальные - необязательные, но если это увеличит сумму баллов по посадке, то туда тоже надо производить посадку.
Представь себе, например, городской ландшафт. Тогда дороги и дома будут препятствиями, лесопарковые зоны будут обязательными местами посадок, а пустующие пространства - необязательными, но желательными. Благоприятность посадки в том или ином месте обуславливается стоимостью участка.

Hisstar

Я не хотел никому мозги своими задачками парить
Скажи только, где можно узнать про исчисление площади неправильных многоугольников в достаточно доступной форме (для экономиста, но понимающего математику).

griz_a

Повторю вопрос - k_n - то, куда нельзя садить, p_n - то, куда можно, да?
Сумма баллов по посадке увеличится всегда, там ведь баллы положительные

griz_a

Да не причем здесь исчисление площади многоугольников. Тут вообще многоугольники не причем, если ты не введешь ограничение на число сторон. Если не будет фигур с кусками бесконечно осциллирующими (что вряд ли то их как угодно можно многоугольником приблизить

Hisstar

Нельзя садить в k_i - точки.
Тут ограничение есть, что форма посадки всегда является прямолинейным многоугольником (если такой термин есть из прямых то бишь.
Кажется, начинаю тебя понимать. Нужно ввести следующее ограничение на фигуру посадки:
Оценка фигуры также зависит от числа вершин и периметра фигуры. Скажем, вершина стоит 30 баллов, а каждые 10 точек длины - 20 баллов.
По идее, должна получится задача оптимального расположения посадок на некоторой поверхности с заданным рельефом.

seregaohota

где можно узнать про исчисление площади неправильных многоугольников
Пусть у нас есть прямоугольник, заданный численными значениями своих вершин на плоскости (x_i, y_i i меняется от 1 до n. Координаты 1-ой и последней n-й точки должны совпадать - это одна и та же вершина.
В общем, если ты не знал и забыл векторное произведение , то площадь прямоугольника считается как сумма ориентированных площадей треугольников, составленных из векторов, выходящих из начала координат в точки-вершины очередной стороны.
A = сумма по i от 1 до n-1 ( x_i * y_{i+1} - x_{i+1} * y_i ) / 2.
Полусумма соответствующих определителей короче








x_i y_i
x_{i+1} y_{i+1}


Можно и в пространстве считать площадь прямоугольника на произвольной плоскости - всё аналогично, но тогда он должен быть плоским и векторное произведение это вектор, т.к. уже 3 координаты, а потом их сложив по всем сторонам прямоугольника берём его модуль (длину да ещё и точку O начало координат тогда нельзя брать за отправную точку, тк она может не лежать в этой плоскости.
Ещё можно посчитать площадь плоской фигуры, состоящей из многих несвязных прямоугольников, если на вход программе подать их вершины в порядке
O (начало координат все вершины первого прямоугольника по-порядку (первая и последняя вершины - это одна и та же точка опять O (начало координат все вершины следующего прямоугольника, опять O (начало координат ..., все вершины последнего прямоугольника, опять O (начало координат).
PS Можно и по-другому, если знаешь интегралы по замкнутому контуру (типа формулы Грина, Стокса и прочее то считаешь на плоскости (при обходе контура против часовой стрелки получится у площади знак плюс, иначе - минус)

A = - \int y dx = - \sum_{i=1}^{n-1} ( (y_{i+1} + y_i) / 2 ) *(x_{i+1} - x_i)

или

A = \int x dy = \sum_{i=1}^{n-1} ( (x_{i+1} + x_i) / 2 ) *(y_{i+1} - y_i)

Если сложишь эти два совпадающих интеграла с коэффициентами 1/2, то получишь ту формулу, что я тебе в начале посоветовал через векторное произведение

A = 1/2 \int ( x dy - y dx ) = 1/2 \sum_{i=1}^{n-1} (x_i * y_{i+1} - x_{i+1} * y_i )

Всё легко обобщается на случай непрямоугольной фигуры, неплоская сложнее, вопрос как они заданы, как-то ведь заданы, не картами же в бумажном виде с подписанными карандашиком числами. И т.п. Можно прогу с виндовым интерфейсом попробовать написать и над оптимизацией подумать, я честно говоря не смотрел вообще. Пиши в приват если надо и тормознёшь/не поймёшь и тп.

Hisstar

Спасибо большое за формулы, cейчас с ними разберусь.
По идее, на выходе у меня должна быть программа-калькулятор с графическим интерфейсом. Сейчас пойму, как задачку решить, а потом запрогаю это дело.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: