Как решать дифуры

satyana


В первой задаче интеграл голимый, во второй одно из собственных значений нулевое...

Mike3

цепа, а у нас пересдача общая будет? то есть у механиков будет теория?

satyana

общая? вот хз...

Mike3

на 15 написано завтра в 10-00 в 16-10
для всех...

satyana

епт... мож задачи будут попроще...

Mike3

да задачи у нас такие же как и у вас были :)
тока теории не было

satyana

это как это одни и те же?

Mike3

я имею в виду не легче

Dr_Jones

по первой задаче вопросы
Два пи периодична. Если функция пи периодична - то это означает, что она два пи периодична ? или надо, чтобфункция была строго два пи периодична ?
кол-во решений - имеется ввиду с точностью до константы ? то есть грубо говоря нужно кол -во классов решений ?
Если ответы - НЕТ, ДА ,ДА - то вроде при а=0 и при а =i, при а= - i - решения два пи периодические, при других - решения не периодические.

satyana

а если ДА, НЕТ, ДА?

Dr_Jones

ну тогда при а равных i*n , где n целое, а abs( n )- чётное, будут решения два пи периодичными.
Да и сразу по второй задачке - напомни плз, что такое устойчиво для вот такой задачи ?

afony

Надо заметить, что решение указанного уравнения определяется не с точностью до константы, а с точностью до C*e^{-at}, так что подразумевается именно количество решений, т.е конкретно 0,1,2,... или \infty.

Dr_Jones

ну имеется в виду как раз эта константа C.

Dr_Jones

если так как ты хочешь, то есть Да, НЕТ, НЕТ., то при а=0 при а=i*n ? где n -.....
Будет бесконечно много, при других а - одно.

satyana

посмотри филиппова. ftp://elib.hackers/pub/data/vol2/archive/fillipov.djvu 87 стр

satyana

а как вы решаете? можно ли не только ответ, но и решение увидеть?

afony

Можно и на ты, все люди братья. Общее решение (\int_0^t e^{at}\frac{\sin t}{2+\sin t} dt+C)*e^{-at}. Только вот в общем случае интеграл считать трудновато. Если a=+-in, то периодических решений либо бесконечно, либо 0, иначе - скорее всего одно. Нужно еще подумать.

satyana

+-in - это +/- мнимая единица, умноженная на n?

Dr_Jones

чёто ты не правильно написал.
при а=i*n будет либо бесконечно, либо 1.
ещё а=о - бесконечно.
и ты уверен в правильности тогочто под интегралом ?

Dr_Jones

да.

satyana

под интегралом у меня также получилось

Dr_Jones

спасибо - ща ломает вспоминать что-то - тебе более компетентрые люди ответят.

Dr_Jones

ХМм.
А почему тогда я был уверен, что если неоднородность два пи периодично, то и частное решю неоднор будет два пи периодично ?
Или это не верно ?

afony

Да. Похоже, что я решил. Пусть f(t)=\int_0^t e^{at}\frac{\sin t}{2+\sin t} dt. Тогда общее решение x(t)=(f(t)+C)e^{-at} (следует из метода вариации постоянной). x(t) 2\pi-периодично т.и.т.т., когда x(2\pi)=x(0) (из теоремы существования и единственности решения следует x(t)\equiv x(t-2\pi.
Запишем это условие иначе: f(2\pi)-f(0)+f(2\pie^{-2\pi a}-1)+C(e^{-2\pi a}-1)=0. Если (e^{-2\pi a}-1)\ne 0, то C находится однозначно (т.е. 2\pi периодическое решение одно иначе 2\pi периодических решений не существует в случае f(2\pi)-f(0)=\int_0^{2\pi} e^{at}\frac{\sin t}{2+\sin t} dt\ne 0 и бесконечно, если \int_0^{2\pi} e^{at}\frac{\sin t}{2+\sin t} dt=0. Судя по всему, при a=+-in всегда f(2\pi)-f(0)=\int_0^{2\pi} e^{at}\frac{\sin t}{2+\sin t} dt\ne 0 , т.е. периодических решений нет.

afony

Пример: x'=1, частное решение x=t (хотя есть и периодическое - x=0).

Dr_Jones

ну хорошо. скажем так, если неодноролдность периодична, то всегда можно подобрать такое частное решение, что оно будет переодично.
Так правильно ?

Dr_Jones

чёто не понят, ответ без формул сказать можешь ?

afony

Пример: x'=ix+e^{it}, общее решение x=(t+C)e^{it} - среди них нет периодических вообще.
По поводу задачи. Если я прав, и все коэфф. Фурье ф-ии \sin x/(2+\sin x) ненулевые, то ответ:
при a=+-in 2\pi-периодических решений нет; иначе есть одно 2\pi-периодическое решение.

Dr_Jones

ну ладно - убедил.

dysh

Если еще про вторую задачу актуально.
Если есть положительные действительные части у собственных значений, то неустойчиво.
Если нет положительной действительной части, но есть нулевые и
(все такие СЗ разные или
есть таки одинаковые, но Жордановы клетки размера 1)
, то устойчиво, но не асимптотически.
Если у кратного СЗ с нулевой вещественной частью есть клетка размера k>=2, то неустойчиво, однако разваливаться будет не экспоненциально, а полиномиально. Т.е. |x| = O(t^{k-1}).

vodnik2

По поводу 2\pi периодических решений.
Если a=0, то нет таких решений, в противном случае одно.
1-й вариант) решаешь неоднородное линейное уравнение методом вариации постоянных (Филиппов и 5-й антидемидович тебе в помощь только интеграл не надо явно брать, а скажем, записать его в виде \int_0^t {...}+С, ну а затем надо записать условие 2\pi -периодичности и все получается (при a !=0 оно однозначно определит константу, так как интеграл некоей функции по периоду [0,\2pi] будет не ноль, а при a=0 такую константу не подобрать).
2-й вариант) вроде бы, пункт 1 уже "проделан" в курсе лекций Ильяшенко. То есть, там должна быть теорема о неоднородных линейных уравнениях, на которую можно напрямую сослаться (что-то вроде, интеграл неоднородности по периоду не ноль - только это тоже доказывать надо);но тут я точно не в курсе. Такое решение мне встретилось только у одного человека из двух групп.

afony

Те же рассуждения, только вообще в случае комплексного a, см. выше.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: