Пример не сепарабельного пространства

bagira0951

приведите пример не сепарабельного пространства, кто-нибудь!

lenmas

Какого именно несепарабельного пространства?

z731a

множество точек отрезка [0,1] с расстоянием между различными точками = 1

bagira0951

это не будет сепарабельным, потомуто вообще несущестует всюду плотного множества?

plugotarenko

всюду плотное множество существует --- все пространство.
Других плотных множеств нет, а следовательно, нет и счетного всюду плотного множества.

bagira0951

Спасибо большое! А такой вопрос - является ли L_5(R^2) сепарабельным?

soldatiki

Является. Там всюду плотно пространство, порожденное индикоторами отрезков с рациональными концами.

bagira0951

отрезки - в смысле прямоугольники?

soldatiki

Да. Сорри, забыл, что дело происходит на R^2.

svetik5623190

множество точек отрезка [0,1] с расстоянием между различными точками = 1
а между равными 0, это нужно для выполнения аксиом метрики на множестве.
Такая функция расстояния (=метрика) называется дискретной. Её можно ввсети на любом множестве Х. Она порождает дискретную топологию (в ней открыты ВСЕ подможества множества Х).
Если Х не счётно (например, отрезок, прямая, плоскость, множество Кантора и т.п. то пространство будет несепарабельным, т.к. единственное всюду плотное множество это и есть само Х, а оно несчётно. Значит, счётного всюду плотного множества нет.
Дискретной такая топология называется потому, что она "самая несвязная" из всех топологий на Х - связная компонента любой точки в такой топологии состоит только из самой этой точки.
 
ЗЫ: Удачи на пересдаче....

bagira0951

а между равными 0
в смысле? и так аксиомы метрики выполняются

bagira0951

а что для любых натуральных m,n L_m(R^n) сепарабельное?

NHGKU2

и так аксиомы метрики выполняются
Нет, не выполняются. Обрати внимание, там есть условие:
x = y <=> r(x,y) = 0.
Чтобы была достаточность, и полагают расстояние между равными точками не 1, а 0.

NHGKU2

для любых натуральных m,n L_m(R^n) сепарабельное
Вроде да, но лучше посмотреть в специальных книжках.

Vmisha

для любого натурального n и любого p>=1 L_p(R^n) сепарабельно

Vmisha

конечно, p меньше бесконечности

svetik5623190

конечно, p меньше бесконечности
можно рассмотривать и когда равно, т.е. стремится к. Например, для последовательностей это означает супремум, вроде бы.
При р меньше 1 получаются, кстати, очень экзотические пространства, только они нигде не используются, насколько я знаю. Я даже не уверен, что там неравенство тругольника будет.

svetik5623190

для любых натуральных m,n L_m(R^n) сепарабельное
то, что от n ничего не зависит в плане сепарабельности - это точно.

lenmas

Я даже не уверен, что там неравенство тругольника будет.
Будет, только надо метрику брать без степени 1/p.

svetik5623190

спасибо Сам бы точно сходу не сообразил, как имнно модифицировать, что было неравенство треугольника
Может, когда р меньше 1, с учётом твоей поправки, как раз сепарабельности и не будет. Интересно. Жаль нет времени подумать над этим.
всё, спааааать!

lenmas

Может, когда р меньше 1, с учётом твоей поправки, как раз сепарабельности и не будет. Интересно. Жаль нет времени подумать над этим.
Будет. Пространства L^p с p<1 ничем не хуже чем с p>=1, только они слишком широкие, так что на них существуют только нулевые непрерывные линейные функционалы, то-есть сопряженные пространства - тривиальные.

svetik5623190

сопряженные пространства - тривиальные.
так вот почему эти пространства нигде не используются Спасибо.
Блин, всё равно нет времени это по-хорошему обдумать...

soldatiki

вот как раз для p = infty оно и не сепарабельно. это уже не такой тривиальный пример, как в случае дискретного пространства.
кстати, дискретные пространства нам не очень-то подходят, поскольку мы изучаем анализ, а значит, пространства должны быть не просто топологическими, а топологическими векторными. остальное — предмет изучения общей топологии.

bagira0951

вот как раз для p = infty оно и не сепарабельно. это уже не такой тривиальный пример, как в случае дискретного пространства.
а там можно выделить подпространство индикаторов отрезков f_t(x)=I[0,t] тогда при разных t1 и t2 ||f_t1-f_t2 ||=1 т.е. не сепарабельно, а значит и все пространство не сапарабельно

svetik5623190

приятная беседа получилась: каждый добавил понемногу от себя, и всё по теме... кроме этого моего поста, конечно.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: