Туплю с Муавром-Лапласом

mtk79

точнее, туплю один, без этих уважаемых ученых мужей:
В учебниках, вроде, интегральный Муавр-Лаплас определялся как сумма бернуллиевских вероятностей от m_1 до m_2 включительно. $$\sum_{m=m_1}^{m^2} P_n(m)=\Phi(x_2)-\Phi(x_1)$$
Т.е. если положить m_2=m_1, то в сумме будет одна ненулевая вероятность, а в правой части разность двух Лапласов даст ноль.
В то же время, если m_2=m_1+1 — то в правой части разность двух Лапласов, если ее разложить в Тейлор, даст в первом порядке локального Муавра-Лапласа — но в левой-то части при таком определении будет уже ва слагаемых.
Где я гоню? Может, суммирование определяется, например, от m_1 до m_2-1?

griz_a

Биномиальные вероятности просто приближаются при больших n нормальной функцией распределения. Поэтому если m1 и m2 близки, то справа будет разность двух значений функции в точках, отличающихся на величину порядка 1/sqrt(n а слева будет сумма малого числа слагаемых порядка не более 1/sqrt(n) из формулы стирлинга

mtk79

так в чем прикол, если при малой разности [math]  $m_2-m_1 \ll n$ [/math] обе части уравнения одного порядка, но коэфф. пропорциональности разные:
слева — m_2-m_1+1 слагаемое, кажное порядка [math] $\phi(m_1)/\sqrt{npq}  $[/math] , согласно локальному Муавру, а справа --[math]  $$\Phi(x_2)- \Phi(x_1) \approx \phi(m_1) * \frac{m_2-m_1}{\sqrt{npq}}  $$ [/math] ?
(\phi — функция из локальной ф-лы Муавра)
Не лучше ли, суммировать [math]  $$  \sum_{m=m_1}^{m_2-1} $$ [/math] при неизменной правой части? — Тогда при больших $ m_2-m_1$ сравнимых с $np$, вклад еще одного m_2 - го слагаемого не изменит порядка суммы, зато при малых $ m_2-m_1$ обеспечит правильный ответ с правильной пропорциональностью?

griz_a

Прикол в том, что формула Муавра-Лапласа нужна для замены сложной длинной суммы приближенным значением готовой функции, а если сумма нескольких слагаемых, то это и не нужно. Если тебе хочется, можешь писать как предлагаешь, только лучше от m1+1 до m2, поскольку "как бы" вычитая нормальную функцию распределения мы левый хвост выкидываем :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: