скоростные уравнения [метод Рунге-Кутта]

Nastia-2008

Помогите, пожалуйста, понять, как решаются скоростные уравнения методом рунге-кутта.
Система уравнения взята из статьи. Не догоняю, как она решается численно.
Суть такая: есть образец на оси Z, на него падает гауссов пучок, образец поглощает. Схема уровней на рисунке.

$[math]$ \frac{dN_{0}}{dt} = -\frac{\sigma_{0} I N_{0}}{h \omega} - \frac {\beta I^{2} } {2 h \omega} - \frac{\gamma I^{3} }{3 h \omega} + \frac{N_{1}}{\tau_{s1}} $ [/math]$
$[math]$ \frac{dN_{1}}{dt} = \frac{\sigma_{0} I N_{0}}{h \omega} - \frac{\sigma_{1} I N_{1}}{h \omega} - \frac{N_{1}}{\tau_{s1}} +\frac{N_{2}}{\tau_{sn}} $[/math]$
$[math]$ \frac{dN_{2}}{dt} = \frac{\sigma_{1} I N_{1}}{h \omega} + \frac {\beta I^{2} } {2 h \omega} + \frac{\gamma I^{3} }{3 h \omega} - \frac{N_{2}}{\tau_{sn}} $ [/math]$
где прошедшая через образец интенсивность
$[math]$ \frac{dI}{dz} = -\sigma_{0} I N_{0} - \sigma_{1} I N_{1} - \beta I^{2} - \gamma I^{3} $[/math]$
Интенсивность гауссова пучка
$[math]$I = I(r,z,t) $[/math]$ есть некая функция (не привожу, дабы не загромождать всё формулами) координат и времени. Z - по оси, r - радиальная координат, t - время.
Далее следует фраза, смысл которой мне не совсем понятен.
The
differential equations were first de-coupled and then integrated
over time, length, and along the radial direction before solving them
numerically using Runge-Kutta fourth order method [26]. Assuming
the input beam to be a Gaussian, the limits of integration for r, t, and
z are varied from 0 to $[math]$\infty$[/math]$ 1, $[math]$-\infty$[/math]$ to $[math]$\infty$[/math]$ , and 0 to L (length of the sample
respectively.
Что и как авторы статьи делают перед тем как запустить вычисления по методу Рунге-Кутта четвертого порядка?

KaterinKa

Ну, видимо, разделяют переменные как-то.
Например, r в уравнения вообще не входит, так что пучок как был, так и останется гауссовым по r, т.е. переменную r можно сразу отделить от остальных.
Далее, использование метода Рунге-Кутта наводит на мысль о том, что они решают одномерные диффуры в конечном счете, т.е. отдельно интегрируют по z и по t.
Значит, они разделили уравнения по z и по t. Как это сделать, сходу сказать не могу. Но три уравнения для заселенностей могут решаться при различных z независимо, т.к. зависимость от z фигурирет там только через I.

Brina

r — в системе параметр, поэтому сначала на него можно смело забить.
2. Насколько я понял, эта система записана в бегущем времени, т.е. в t' = t - z/v_g. Поэтому решать можно так:
2.1. Запускаешь цикл по z
2.2. Запускаешь цикл по t (от -inf до inf примерно в нем решаешь систему для населенностей.
2.3. Получив населенности решаешь ур-е для интенсивности для всех временных слоев.
2.4. Заканичваешь цикл по t.
2.5. Заканичваешь цикл по z.
2.6. И все тупо решается методом Р-К.
3. Сделав все это и проверив на адекватность, вспоминай про r. Т.е. внутри цикла по z добавляй цикл по r. Или снаружи. Если планируешь дифракцию добавлять, то внутри...

Brina

Например, r в уравнения вообще не входит, так что пучок как был, так и останется гауссовым по r, т.е. переменную r можно сразу отделить от остальных.

Переменная r — параметр, отделяется от остальных. Но пучок гауссовым не останется — его разные части будут усиливаться (спадать) по-разному.
Если б ее от остальных отделить было можно, то достаточно решить для r = 0, а дальше на гаусса домножить. Клево было бы...

KaterinKa

>> Но пучок гауссовым не останется — его разные части будут усиливаться (спадать) по-разному.
Согласен, из-за нелинейности пучок не будет гауссовым, тут я лопухнулся...

Nastia-2008

Спасибо за ответ.
Что значит v_g? Групповую скорость? Почему именно такого вида?

Brina

v_g — групповая якорость. А система записана в бегущем времени, потому что для импульсов уравнения всегда выглядят так. Смотри Шена, например.

Оставить комментарий