Независимость случайных величин

svetik5623190

Можно ли сабж сформулировать в терминах, не зависящих от вероятности (т.е. вероятностной меры)? То есть как-то выразить сабж в терминах только самих измеримых отображений?
Если да, то как? Если нет, то почему? (Примеры?)

margo11

Мне кажется, что нельзя.
Соображение такое: пусть есть множество А, на нем задана сигма-алгебра (измеримые множества и определена пара отображений из А в R (для простоты в действительные числа). Пусть эти отображения f и g - случайные величины, т.е. измеримы. До этого момента вероятность никак не фигурирует и вообще не обязана быть определена каким-либо образом. Допустим, определили независимость f и g только в терминах отображений. Знаем, что события f < 1 и g < 1 - это всего лишь некоторые подмножества S и T в А, являющиеся заодно элементами сигма-алгебры. Пусть теперь появилась на свет вероятность P - мера на сигма-алгебре. По свойству (или определению) независимости событий P(S и T) = P(S) * P(T) (ничего не напутал?). Ну и почему это должно выполняться? Ясно, что можно определить P так, чтобы это не выполнялось (я не говорю, что это можно сделать при любых A, f, g, но при каких-то уж точно можно).

Lokomotiv59

Наверное можно так:
пусть a, b - случайные величины (измеримые отображения).
Есть такое свойство, что a, b независимы <=> для любых борелевских функций f, g
E(f(a)*g(a = E(f(a*E(g(a
Определение не зависит от вероятностной меры, если я не ошибаюсь.

plugotarenko

E --- это интеграл по мере, так что еще как зависит.

plugotarenko

Никогда не встречал ничего подобного.
Мера в определении независимости существенна. Можно легко построить две меры, для которых одни и теже события будут зависимы для одной и независимы для другой.
Если мы отказываемся от понятия меры, то идея независимости связана с понятием декартова произведения. Если есть две случайные величины, одна на одном пространстве, другая на втором, то пространства можно декартово перемножить, переопределить случайные величины и получить пространство, на котором они будут независимы.
Соответственно, если можно сделать обратный финт, то есть разложить пространство в декартово произведение двух других с нужным ограничением на случайные величины, то можно обозвать эти величины независимыми.
Все написанное выше просто некоторые размышления, на строгость и научность не претендующие.

Lokomotiv59

В таком случае вопрос поднят совсем глупый.

Irina_Afanaseva

не глупый, его некоторые профессора охотно обсуждают.
точный ответ: пара сл.величин независима тогда и только тогда, когда её можно реализовать
(то есть построить новое вер.пространство и две вещ.функции на нем, совместное распределение которых совпадает с совместным распределением исходных величин) функционально независимыми величинами.
То есть, новое пространство лежит в произведении двух пространств, и одна величина реализуется функцией от первой координаты, а вторая --- функцией второй координаты.

Irina_Afanaseva

для счетного числа независимых величин аналогично

Lokomotiv59

А ты что ли считаешь, что функция распределения случайной величины не зависит от вероятностной меры ? Автор не объяснил, что означает "термины измеримых отображений" и т.п. Кстати, случайная величина (как измеримое отображение) если че, задается уже на измеримом пространстве с вероятностной мерой.

Priss

Определение не зависит от вероятностной меры
хорошо сказал

svetik5623190

Кстати, случайная величина (как измеримое отображение) если че, задается уже на измеримом пространстве с вероятностной мерой.
Минуточку, позвольте мне уточнить свой вопрос.
Отображение задаётся между парой множеств, и всё. Если мы хотим строить случайную величину, распределённую на R, то между множеством Х и R.
Если с каждым из множеств 1 и 2 ассоциированы некоторые семейства их подмножеств А1 и А2 (алгебра множеств, топология и т.п. то говорим, что отображение измеримо в смысле этих систем, если образ А2 по отображению взятия прообраза по нашему отображению лежит в А1. В случае алгебр это означает измеримость, в случае топологий - непрерывность и т.п.
В нашем частном случае у нас имеется множество Х, сигма-алгебра множеств А на нём, и R, рассматриваемое с борелевской сигма-алгеброй.
Далее, на А вводится вещественная функция - вероятность (нормированная мера). И в терминах этой функции формулируется определение независимости измеримых отображений.
О терминах. Кому больше нарвится, пусть говорит "случайная величина" вместо "измеримое отображение". Это дело вкуса, я пишу "измеримое отображение", чтобы подчеркнуть категорную разницу понятий: например, если мы меняем вероятность, а отображение оставляем такое же, то мера на R, порождаемая этим отображением (распределение случайной величины) изменится. Изменилась ли случайная величина? Да. Изменилось ли измеримое отображение? Нет.
Так вот что меня конкретно интересует:
1. Пусть есть пара измеримых отображений. Каков класс вероятностей, относительно которых случайные величины, порождаемые этими отображениями, будут независимыми? Какие свойства алгебр множеств и самих отображений влияют на то, каким будет этот класс?
2. Пусть измеримые отображения независимы относительно тех и только тех вероятностий, которые принадлежат некоторому классу К. Что мы можем в этом случае сказать об этих измеримых отображениях? Какие свойства класса К надо для этого знать?
Ответом на оба вопроса явилось бы определение независимости, вообще не знависящее от вероятности и эквивалентное классическому. Однако такого определения, по-видимому, мы не найдём.
Что же мы можем сказать в ответ на 1 и 2?

Irina_Afanaseva

Отображение задаётся между парой множеств, и всё. Если мы хотим строить случайную величину, распределённую на R, то между множеством Х и R.
слово "распределённую" уже говорит о наличии меры

svetik5623190

слово "распределённую" уже говорит о наличии меры
а слово "строить", цитированное тобой, говорит о том, что её нет ещё, сли не фиксирована мера. Случайная величина = измеримое отображение + вероятностная мера на области определения измеримого отображения (для сравнения: советская власть = коммунизм + электрификация всей страны).
Ну неужели и правда непонятно, что я имею в виду? Я что, совсем не умею передавать свои мысли?

svetik5623190

точный ответ: пара сл.величин независима тогда и только тогда, когда её можно реализовать
(то есть построить новое вер.пространство и две вещ.функции на нем, совместное распределение которых совпадает с совместным распределением исходных величин) функционально независимыми величинами.
То есть, новое пространство лежит в произведении двух пространств, и одна величина реализуется функцией от первой координаты, а вторая --- функцией второй координаты.
Можно ли попросить привести примеры, пожалуйста?

soldatiki

+1
Нельзя ли привести конструкцию того самого прямого произведения, где те самые независимые величины представляются функциями от перовой и второй координат?
Т. е. как можно имея две независимые с. в. разложить пространство с мерой в прямое произведение?

Sanych

Берёшь R^2, в которое пара случайных величин отображает твоё пространство. Меру на борелевских множествах определяешь как меру их прообраза относительно этой пары случайных величин. Таким образом, на новом пространстве величины становятся первой и второй координатой, а меры согласованы (в частности, совместное распределение величин такое же, независимость сохраняется, и результирующая мера для независимых величин получается произведением из 2 мер, каждая по своей координате).
Более того, таким образом можно найти и соответствующую (не зависящую от меры) подалгебру в сигма-алгебре пространства, на котором наши случайные величины определены. Тогда обсуждаемый вопрос переформулируется как вопрос о продолжении прообразов мер-произведений с неё. Именно для таких продолжений наша пара случайных величин окажется независимой.

Irina_Afanaseva

+1
(ответ стал не только точным, но и полным )

svetik5623190

Спасибо большое за ответы!
Действительно, независимость величин тут означает, что двумерная мера прямоугольника равна произведению одномерных мер его сторон. Более того, действительно, какое бы ни было вероятностное пространство, на котором определены случ. величины, можно осуществить его подмену на R^2, сигма-алгебра и вероятность тоже переносятся.
И я согласен, что случ. величины независимы тогда и только тогда, когда и они сами и вероятность на их исходной области определения таковы, что можно подменить вероятностное пространство на R^2, алгебру событий - на борелевскую в R^2, а сами отображения - на проекции вдоль осей.
Получается, что можно "вычистить" из структуры вероятностной модели всё лишнее, остаётся только вероятность на R^2, которя и определяет всё на свете для двух случ. величин.
Тем не менее, ответа на поставленные мной два пока не последовало (или я чего-то не понимаю). А вопросы, мне думается, вполне достойны обсуждения
Более того, таким образом можно найти и соответствующую (не зависящую от меры) подалгебру в сигма-алгебре пространства, на котором наши случайные величины определены. Тогда обсуждаемый вопрос переформулируется как вопрос о продолжении прообразов мер-произведений с неё. Именно для таких продолжений наша пара случайных величин окажется независимой.
Не понятно, что имеется в виду, можно ли поподробнее?

Sanych

Что бы здесь можно было уточнить. Ну вот у тебя есть множество X с сигма-алгеброй A. Есть две измеримые функции, P и Q, каждая из X в R. Есть борелевская сигма-алгебра B на RxR и есть ее прообраз B', который лежит в A. Независимость определяется тем, как устроена мера на B', и в частности эта мера однозначно определяется совместным распределением на B, которое должно быть произведением. Далее эта мера с B' продолжается на A и независимость тут уже не влияет, продолжать можно каким-то произвольным образом. Соответственно всё может зависеть от того, как устроена сама подалгебра B' и как именно она лежит в A. Далее я не знаю, думать надо

svetik5623190

Далее я не знаю, думать надо
вот и мне тоже кажется, что это вовсе не такой тривиальный вопрос, как некоторые тут писали.

Sanych

это вовсе не такой тривиальный вопрос
А ты умеешь уже описывать (хоть как-нибудь) класс всех возможных мер на рассматриваемых тобой алгебрах? Без этого ведь вряд ли куда-нибудь сдвинешься, если ты хочешь что-то говорить о части из них.
PS. Правда есть ещё второй вопрос, для которого это знать не так уж существенно...

Sanych

Вот, например, такая идея есть по этому поводу:
если взять две вероятностные меры, то отрезок между ними - тоже состоит из вероятностных мер. Однако, если для концов отрезка величины были независимыми, то для внутренних точек это обычно уже не так. Более точно, если есть два множества, U и V, являющиеся прообразами некоторых борелевских в R для наших случайных величин, то должно выполняться P_t(UV)=P_t(U)P_t(V). Это равенство выполняется лишь в том случае, когда правая часть линейна. То есть тогда, когда P_t(U)=const либо P_t(V)=const.
Таким образом, две меры из множества 'независимых' соединяются лежащим в этом множестве отрезком в том и только в том случае, когда они совпадают на множестве всех прообразов борелевских множеств для хотя бы одной из двух наших случайных величин. Следовательно, имеет смысл рассматривать максимальные выпуклые подмножества во множестве 'независимых' мер — они обычно будут соответствовать как раз фиксированному выбору меры на подалгебре, порожденной одной из величин.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: