Задача по слупам

Eleno4ka

Товарищи, помогите, пожалуйста, решить следующую задачу!

Мне к завтрему нужно. Или, может, у ВМиКшников, которые сдают этот предмет, завалялось где-нибудь ее решение? Это задача номер шесть.
Я афигеваю уже и не могу ее решить. Выручайте!

omni51776

То, что она сходится- понятно. По закону двойного логарифма, Винеровский процесс ограничен логарифмической функцией, которая растет медленее линейной поэтому Y_t/n ->0 , при n->inf (Хотя може я и попутал.. )

plugotarenko

Сходится к о.
Броуновское движение имеет независимые приращения, поэтому
Y_n=X(t)+\ksi_1+...\ksi_n, где \ksi_i --- независимые нормальные величины N(0,1).
Y_n/n=X(t)/n+(\ksi_1+...\ksi_n)/n.
первое слагаемое стремится к 0, потому что X(t) конечно и от n не зависит
Второе слагаемое стремится к 0 по усиленному закону больших чисел.

Eleno4ka

Так я, честно говоря, ничего не понимаю.
Но,если доказать, что
P(Y_n<x)=1, то все оки будет, вроде бы, по определению сходимости. У меня получилось доказать стремление к 1 (то есть более слабую сходимость по вероятности).

kirawa

Написано верно. К сожалению из твоего доказательства не будет следовать стремление почти наверное.

Eleno4ka

ну да, оно более слабое, я доказала по вероятности, то есть предел равен нулю. А сходимость с вер. 1 более сильная - это когда сама вероятность равна 1, верно?
Ну то есть надо что-н дополнительное сочинить

plugotarenko

Y_n распределено нормально, поэтому P(Y_n<x)<1.
Честно говоря, я не понял тебя.
Повторю подробнее
Y_n=(X(t+n)-X(t+n-1+(X(t+n-1)-X(t+n-2+....+(X(t+1)-X(t+X(t)
X(t) - это броуновское движение.
поэтому случайные величины
X(t+n)-X(t+n-1 (X(t+n-1)-X(t+n-2 ... , X(t+1)-X(t независимые и одинаково распределеные,
Их распределение N(0,1) --- нормальное со средним 0 и дисперсией 1. (опять же из свойств Броуновского движения)
Y_n/n= X(t+n)-X(t+n-1+(X(t+n-1)-X(t+n-2+....+(X(t+1)-X(t/n+X(t)/n
X(t)/n стремится к 0, потому что X(t) конечно с вероятностью 1 и от n не зависит.
оставшаяся сумма стремится к 0 по усиленному закону больших чисел.
НАпомню усиленный закон больших чисел.
Пусть есть последовательность независимых одинаково распределеных случайных величин Z_n, таких что E Z_n =a, тогда (Z_1+...+Z_n)/n стремится к a, с вероятностью 1, при n стремящемся к бесконечности.

iwos

как доказать что броуновский сл пр конечен с вер-ю 1

plugotarenko

Для решения задачи это не нужно.
t фиксировано, поэтому достаточно показать, что X(t) конечно с вероятностью 1, то есть нормальная случайная величина конечна с вероятностью 1, что очевидно.
А броуновское движение имеет непрерывную модификацию, поэтому естественно на конечном отрезке оно будет конечно с вероятностью 1.

Eleno4ka

>X(t) конечно с вероятностью 1
Дай, плиз, определение, что это такое

plugotarenko

Это означает, что вероятность того, что X(t) меньше бесконечности равна 1. (P(X(t)< \infty)=1)

iwos

мне неочевидно,
можешь расписать подробнее, тут спецы говорят, что это даже неверно

plugotarenko

Нормальная случайная величина с вероятностью единица меньше бесконечности. Что в этом неверного? Это следует, например, из определения нормального распределения. У него математическое ожидание конечно.

omni51776

Если я не ошибаюсь, то гораздо проще пременить закон повторного Логарифма для боуновского движеня, и больше ничего делать не нада...Yn оцениваем, через повторный ln, а ln(n)/n ->0, n->бесконечн., причем сходимость будет та же, что и в законе для оценки...

Gennadi23

Закон повторного логагифма --- это из пушки по воробьям. Еще спросят, что это такое
Решение через УЗБЧ нагляднее.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: