задачка по математике (дивану)

lebuhoff

М пространство классов измеримых функций.Как доказать что в М нет метрики задающей сходимость почти всюду.Срочно1

griz_a

Лови фишку
От противного. Пусть мера есть.
Рассмотрим An,m = indicator(m/2^nm+1)/2^n m=0..2^n-1, n=0..infinity.
An,m ->0 п.в. при n=1,2,3....infinity, m - как угодно, т.к. сумма длин последующих кусочков после n-ого шага не более 1/2^n, т.е. после n-ого шага на множестве меры 1-1/2^n уже точно сошлось к 0. Имеем сходимость п.в., т.к. для любой точки, кроме предельных точек последовательности, которых не более чем счетно, она когда-то попадет в это множество меры 1-1/2^n.
Рассмотрим тогда последовательность A0,0;A0,1;A1,1;....-Последовательность Bn (перенумеруем просто для удобства)
Пусть есть eps>0, такое, что для любого N, найдется n>N, т.ч. ro(Bn,0)>eps.
Тогда беря из N=1,2.. те, которым соответствуют разные n, получаем последовательность, которая сходится к 0 из предыдущего, но отделена eps от 0. Противоречие.
Т.е. для любого eps>0 существует N, т.ч. для любого n>N ro(Bn,0)<eps.
Значит Bn сходится в метрике, а следовательно п.в., что не так, так как она ни в одной точке не сходится....

Katty-e

Пусть есть eps>0, такое, что для любого N, найдется n>N, т.ч. ro(Bn,0)>eps.
Тогда беря из N=1,2.. те, которым соответствуют разные n, получаем последовательность, которая сходится к 0 из предыдущего, но отделена eps от 0. Противоречие.
Неверно.
Пусть ro(a,b)=| a(0)-b(0) |
Тогда подпоследовательность Bn строго отделена от нуля.

griz_a

Сглючить меня там сглючило, но не тут. Я пользовался тем, что ро - метрика, метризующая сходимост п.в., т.ч. твой пример не катит. Сглючило меня вот где - Может и не любая последовательность уменьшающихся ступенек сходится п.в., но если сходится последовательность центров этих ступенек, то сходимость п.в. очевидна, т.к. для любой точки кроме предела если взять N: ступеньки длины менее расстояния от нашей т. до предела, то в ней сходмость получим....
Если есть отделенная последовательность ступенек, то из нее можно выделить последовательность со сходящимися центрами, которая тоже будет отделена. Т.е. п.в. она сходится, но по метрике нет, absurd.

plugotarenko

Если бы не знал в чем дело, никогда бы не понял, что написано.
1. Существует последовательность, которая сходится к 0 по мере, но не сходится почти всюду, пример такой последовательности An,m приведен.
2.Предположим существует метрика po, которая задает сходимость п.в., тогда для данной последовательности An,m существует подпоследовательность Bk отделенная от 0, а именно, существует eps>0 po(Bk,0)>eps.
3. последовательность Bk сходится по мере, но не сходится почти всюду.
4. Существует подпоследовательность Bk обозначим Ci которая сходится почти всюду к 0.
5. po(Ci,0)>eps, но Ci тем не менее сходится почти всюду к 0.
Противоречие.

griz_a

Блин, попиши сам в полпервого ночи решение...
Я бы понял, там есть все основные идеи, причем понятно, а промежутки можно и самому вывести....

kachokslava

кроме предельных точек последовательности, которых не более чем счетно,
Не у любой же последовательности количество предельных точек не более чем счётно - вон возьмём рациональные числа, занумеруем - множество предельных точек континуально.

griz_a

Это я уже поправил....В посте после, а в этом я подразумевал немного другое, но по-моему не катит....

Irina_Afanaseva

даже и топологии такой нет
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: