Почему это мн-во компакт?

philnau

[math]  $B = \{f\in X: 0\le f\le1, Ef\ge \delta \}$  [/math]
[math]  $X = L^p \;\;\; X' = L^q$  [/math]
[math]  $1\le p \le \infty и \frac1p + \frac1q =1$  [/math]
Почему B компакт в слабой топологии [math] $\sigma(X, X')$[/math]?

svetik5623190

Символом Е обозначен интеграл?
Если да, то вроде как В замкнуто. Единичный шар слабо компактен в звёздно-слабой топологии: теорема Банаха-Алаоглу. Наше В - это замкнутое подмножество единичного шара (компакта! и потому тоже компакт.
Если что не так, то сорри: я пьяный щас. Может хоть полезные мусли извлечёте какие-нибудь из моего поста.

philnau

Ок.
А как быть при q=\infty ?

svetik5623190

Попробуй доказать по определению?

philnau

Ступил я. Ничего не надо док-ть
Раз единичный шар компакт в звездатой топологии, то и его замкнутое подмножество B тоже компактно
P.S. Кстати, ты не знаешь как называется критерий компактности в L^p ?
Просто я знаю, что таковой есть, но не могу найти в известных книгах.

lenmas

Критерий Колмогорова (только он в конечномерных пространствах только)

svetik5623190

Раз единичный шар компакт в звездатой топологии
Аккуратнее. Звёздно-слабая топология и слабая топология - это не одно и то же. Но (l_p)'=l_q.
Критерий предкомпактности в l_p при р не равном 1, кажется, такой: множество равномерно ограничено, и остатки рядов равномерно малы. Доказывается, кажется, из критерия компактности в эр-эн и применением эпсилон-сетей. Посмотри в книге: Люстерник, Соболев "Краткий курс функционального анализа". Вроде там было.
ЗЫ: Воспринимай критически всё, что я пишу в этом треде, а то я в гавно, еле печатаю.

svetik5623190

Звёздно-слабая топология и слабая топология - это не одно и то же.
Зв-сл топология - это топология на сопряжённом, в которой непрерывны все функционалы на сопряжённом, сопоставляющие функционалу из сопряжённого его значение в точке из исходного пространства. Эти функционалы называются функционалами означивания, каждая точка исходного пространства задаёт функционал означивания. Соответствие, ставящее вектору его функционал означивания, вкладывает исходное пространство в дважды сопряжённое к нему.
Слабая топология на исходном - топология, в которой непрерывны все функционалы из сопряжённого к исходному.

philnau

Вот что я имел ввиду
[math]    $(L^\infty)^* = ba \Rightarrow \sigma(L^1, L^\infty) = \sigma(ba, L^\infty) |_{L^1}$  А значит компактый ед. шар пересеченный с $L^1$ перейдет в компакт относительно любой из вешеупомянутых топлогий.  [/math]

svetik5623190

Прости я уже ничерта не сооображаю
буквы плывут
удачииии!................
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: