Как доказать единственность многочлена Чебышева?

tramal

 

Runa

вроде как обычно доказывается единственность
предполагается что их два. и потом противоречие. разность в итоге равна нулю. используется степень многочленов, кол-во корней и св-ва многочленов Чебышёва.
возможно я не прав.

sokrat

Нда - вопрос что надо.
Это ж вопрос для восьмого класса.
Agssi правильно сказал.

tramal

подробнее нельзя? раз уж вопрос для восьмого класса.
например, объясните мне, как связана разность двух многочленов с нормой? и то, что при разности получается всего лишь многочлен степени n-1. как приплести количество корней, я тоже не понимаю особо.
так что хотелось бы объяснения для тупых.

vodnik2

если тебе не срочно и завтра будешь на работе, то могу я объяснить завтра

sokrat

Для тупых - количество корней не может быть больше степени многочлена. У разности - такое получется -> он нулевой.
Норма ни при чем
Вам замечание (+). Личные оскорбления.

tramal

мне сегодня надо

tramal

почему у разности сохраняется количество корней?

sokrat

Напомни определение, а то я только рекурсивное помню.

svistunov

Сформулируй, пожалуйста, более внятно вопрос.
Вообще говоря, у многочленов Чебышёва есть (вполне однозначные) определения (даже несколько).
Я так понимаю, тут речь идёт о том, что что-то чем-то приближается? Уточни.

sokrat

Да, точно!

tramal

Многочленом Чебышева степени n на компакте К называется многочлен вида T_n(z)=z^n+... со свойством минимальности нормы на компакте по всем многочленам степени n со старшим коэфф. 1 (то есть основное свойство - минимальность максимума модуля)

Xephon

какой, нахрен, компакт?
вы че тут парите!
на компакте - точке многочлен Чебышева не единственный

tramal

там не точка, там дуга окружности

Xephon

повторяю вопрос: какие координаты на этом хреновом компакте? куда он нахрен вложен? в R, или в C, какая норма?

tramal

не ори.
Компакт - это дуга окружности в С. Я думаю, что можно не объяснять, что все равно, какие координаты у ее центра и радиус. Известно, что длины дуги хватает на то, что многочлен Чебышева z^n. Известно, что существует многочлен вида P(z)=z^n+.... с той же нормой - 1. Необходимо доказать, что P(z) совпадает с z^n.

blondino4ka47

Допустим, P(z) != Q(z) , но || P(z)|| = ||Q(z)||. Тогда || (P(z)+Q(z /2 || <= ( ||P(z)|| +||Q(z)|| ) /2|. Меньше быть не может, значит, равна.
|| (P(z)+Q(z /2 || = || P(z) ||/2 + || Q(z) ||/2.
Если есть свойство(НЕ помню, как называется что тогда многочлены P(z) и Q(z) пропорциональны, то все ОК.

tramal

последняя логическая связка не ясна

lodanap

вопрос по функану или по чмам?

tramal

по комплану!

blondino4ka47

Ecли || alpha * P + beta * Q || = alpha* || P || + beta* || Q || ( для любых alpha+beta = 1 то многочлены P и Q пропорциональны: P = c * Q.
Вроде такое свойство должно выполняться для многочленов на компактах.

blondino4ka47

Не, это гон.(Это правда для некоторых других норм). Из этого следует только, что у них max модуля в одной точке.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: