Первое в истории доказательство иррациональности числа Пи

BoBochka

Предлагаю форумчанам вспомнить замечательные и красивые рассуждения Иоганна-Генриха Ламберта (1728 — 1777г. который впервые в истории человечества показал, что число [math]$\pi$[/math] — иррационально.
За основу возьмем перевод на русский язык оригинальной работы Ламберта, который можно найти в книге , Ф.Рудио, 1936 год (djvu).
В основе доказательства Ламберта лежит представление гиперболического тангенса в виде цепной дроби (Lambert’s continued fraction):
[math]{\Large $ \th x = \frac{1}{ \frac{1}{x} +  \frac{1}{\frac{3}{x} + \frac{1}{\frac{5}{x} + \frac{1}{\frac{7}{x} + ...  }    }} }$ }[/math]
Из этого тождества почти сразу следует иррациональность числа [math]$\pi$[/math], а также числа [math]$e$[/math]. Действительно,
[math]{\Large $\tg x = -i \th(ix) = \frac{1}{i} \frac{1}{ \frac{1}{ix} +  \frac{1}{\frac{3}{ix} + \frac{1}{\frac{5}{ix} + \frac{1}{\frac{7}{ix} + ... }    }} } = \frac{1}{ \frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{3}{x} - \frac{1}{\frac{5}{x} - \frac{1}{\frac{7}{x} - ... }    }} }$}[/math]
Поэтому если [math]$x$[/math] — рационально, то цепная дробь для [math]$\tg x$[/math] будучи бесконечной не может быть рациональным числом. Но [math]$\tg \frac{\pi} {4} = 1$[/math] — рационально, поэтому [math]$\pi$[/math] — иррационально.
Аналогичное рассуждение для числа [math]$e$[/math]:
[math]{\Large $\frac{e - 1}{e + 1} = \th \frac{1}{2} = \frac{1}{ 2 +  \frac{1}{6 + \frac{1}{10 + \frac{1}{14 + ... }    }} }$}[/math]
— бесконечная цепная дробь, следовательно, иррациональное число, а значит, и число [math]$e$[/math] является иррациональным.
Теперь докажем разложение гиперболического тангенса в цепную дробь. В русском переводе статьи Ламберта, к сожалению, нет доказательства этого разложения.
Чтобы единообразного задать гиперболические синус и косинус, рассмотрим вспомогательную функцию
[math]$F(n,x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(\gamma + n\gamma + n + 1) ... (\gamma + n + k -1)} \frac{x^k}{k!}$[/math]
Действительно, легко видеть, что при [math]$\gamma = \frac{1}{2}$[/math]
[math]$F(1, x^2/4) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(\gamma + 1) (\gamma + 2)... (\gamma + k)} \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{3*5*7*...*(2k+1)} \frac{x^{2k}}{2^{2k}k!} =$[/math]
[math]$=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x ^ {2k}}{(2k+1)!} =\frac{\sh x} {x}$[/math]
[math]$F(0, x^2/4) =  \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\gamma (\gamma + 1)... (\gamma + k - 1)} \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{1*3*5*...*(2k-1)} \frac{x^{2k}}{2^{2k}k!} =$[/math]
[math]$= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x ^ {2k}}{(2k)!} = \ch x$[/math]
Теперь постараемся представить отношение [math]$\frac{F(1, x^2/4)}{F(0, x^2/4)} = \frac{\th x} {x}$[/math] в виде цепной дроби.
Действительно, легко проверить, что
[math]$F(n+1, x) - F(n,x) =  \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(\gamma + n + 1) ... (\gamma + n + k -1)} (\frac{1}{\gamma + n + k} - \frac{1}{\gamma + n}) \frac{x^k}{k!} =$[/math]
[math]$= -\frac{x}{(\gamma + n\gamma + n + 1)} F(n+2, x)$[/math], поэтому, деля обе части последнего равенства на [math]$F(n, x)$[/math], имеем:
[math]$G(n, x) -1 = -\frac{x}{(\gamma + n\gamma + n + 1)} G(n+1, x) G(n,x)$[/math], где
[math]$G(n,x) := F(n+1, x) / F(n,x)$[/math].
Следовательно, [math]{\Large$G(n,x) = \frac{1}{1 + \frac{x}{(\gamma + n\gamma + n + 1)} G(n+1, x) }$}[/math]
Таким образом, получаем следующую цепную дробь:
[math]{\Large $ G(0, x) = \frac{1}{ 1 +  \frac{\frac{x}{\gamma (\gamma + 1)} }{1 + \frac{\frac{x}{(\gamma + 1\gamma + 2)} }{1 + \frac{\frac{x}{(\gamma + 2\gamma +3)} }{1 +  ... }    }} } = \frac{\gamma}{ \gamma +  \frac{x}{\gamma + 1 + \frac{x}{\gamma + 2 + \frac{x}{\gamma + 3 +  ... }    }} }$ }[/math]
В частности, при [math]$\gamma = \frac{1}{2}$[/math] имеем:
[math]$\frac{th x} {x} = \frac{F(1, \frac{x^2}{4})}{F(0, \frac{x^2}{4})} = G(0, \frac{x^2}{4}) = \frac{1/2}{ 1/2 +  \frac{x^2/4}{1/2 + 1 + \frac{x^2/4}{1/2 + 2 + \frac{x^2/4}{1/2 + 3 + ... }    }} } =  \frac{1}{ 1 +  \frac{x^2}{3 + \frac{x^2}{5 + \frac{x^2}{7 + ... }    }} }$[/math]
Домножая обе части последнего равенства на [math]$x$[/math], получаем искомое тождество:
[math]{\Large $ \th x = \frac{1}{ \frac{1}{x} +  \frac{1}{\frac{3}{x} + \frac{1}{\frac{5}{x} + \frac{1}{\frac{7}{x} + ...  }    }} }$ }[/math]

Suebaby

кстате, подобным образом Иоганн Генрих Ламберт доказал, что иррационально число 2
действительно, его же можно представить в виде бесконечной цепной дроби!
[math]$$\frac 3 2+\frac 1 {\frac 3 2+\frac 1 {\frac 3 2 + \dots}}$$[/math]

BoBochka

Понятное дело, что в нашем случае, когда используется представление Ламберта, речь идет о бесконечных непериодических [точнее, с коэффициентами стремящимися к бесконечности — см. ниже] цепных дробях.

tester1

Респект ТС за интересный пост :) Баштанову тоже респект и привет :)

Jusun

стоит добавить слово "непериодическая"
А как доказать, что из непериодичности дроби следует иррациональность?

BoBochka

А как доказать, что из непериодичности дроби следует иррациональность?

P.S. Если не сообразите сами, то немного позднее напишу :)
Здесь можно просто сослаться на теорему о квадратичных иррациональностях и периодических цепных дробях (из университетского курса теории чисел см. учебник Нестеренко. А можно провести более простые рассуждения с неравенствами, как это сделал Лежандр в "статье-комментарии" к работе Ламберта (см. книжку ).

roza200611

к чему это?
и, кста, что с постоянной Эйлера?

Sergey79

Поэтому если — рационально, то цепная дробь для будучи бесконечной (и непериодической) не может быть рациональным числом.
в этом предложении вообще есть логика? Я ее не вижу.
Во-первых, почему дробь непереодическая?

BoBochka

почему дробь непереодическая?
Потому что последовательность чисел 1/x, 3/x, 5/x, ..., (2k+1)/ x, ... — непериодическая :ooo:

griz_a

в этом предложении вообще есть логика? Я ее не вижу.

В чем проблема?
Для тангенса х построена дробь, в ней все коэффициенты пропорциональны 1\х, если х рациональны, то и коэффициенты тоже. При этом эти коэффициенты возрастают, значит число, представимое такой дробью иррационально. Значит тангенс иррационален.

BoBochka

и, кста, что с постоянной Эйлера?
Вроде бы до сих пор не известно, рациональна она или иррациональна.

Sergey79

там же не сама последовательность а какая-то цепная дробь от этой последовательности.

antcatt77

его же можно представить в виде бесконечной цепной дроби!
это не разложение в цепную дробь. при разложении в цепную дробь каждый член должен быть целой частью

BoBochka

Никакого другого определения для периодичности цепной дроби нет.

BoBochka

при разложении в цепную дробь каждый член должен быть целой частью
Нет, в контексте нашего разговора замечание Баштанова было правильное, ибо здесь мы рассматриваем цепные дроби не обязательно с целыми коэффициентами.

mtk79

— Скажите, а может быть вероятность равной 3/2?
— Нет!
— Ну ладно, так и быть, тройку поставлю... А, кстати, почему не может-то?
— Потому что вероятность — целое число

Sergey79

Никакого другого определения для периодичности цепной дроби нет.
тогда каким же образом из подобного определения следует иррациональность?

Jusun

построена дробь, в ней все коэффициенты пропорциональны 1\х, если х рациональны, то и коэффициенты тоже. При этом эти коэффициенты возрастают, значит число, представимое такой дробью иррационально.
1/2 + 1/4 + 1/8+... крайне напоминает вполне рациональную единицу.

griz_a

Цепная дробь в курсе что такое?

Sergey79

я вот понятия не имею, только знаю что через нее логарифмические уравнения решаются вроде. А из вида цепной дроби ничго такого не следует. Вот правильно примеры привели: дробь из возрастающих коэффициентов может и к рациональному сводится, докажите что нет.

griz_a

Это не цепная дробь с рациональными коэффициентами, а просто ряд из рациональных чисел.
Если вы обсуждаете доказательство через цепные дроби, то может быть стоит прочитать о том, что это? :confused:

tester1

аа, точно, же вроде с физфака, а там цепные дроби не проходят наверное

Vlad128

В первом же посте написано :o

Sergey79

Если вы обсуждаете доказательство через цепные дроби, то может быть стоит прочитать о том, что это?
Вопрос в том почему вы не можете это быстро и в двух словах пояснить? Я вижу в этом прореху в приведенном доказательстве. Не то чтобы оно было неверным, но оно явно теряет в элегантности, если опирается на неочевидную и громоздкую конструкцию, про которую вы даже не можете рассказать

griz_a

 
Понятное дело, что в нашем случае, когда используется представление Ламберта, речь идет о бесконечных непериодических цепных дробях.

Хм, с рациональными числами мне это что-то не нравится
Беру я
[math]$2=f_1(2)=\frac{1}{\frac1{10}+\frac1{\frac12+2}} $[/math]
и
[math]$2=f_2(2)=\frac{1}{\frac3{14}+\frac1{\frac32+2}} $[/math]
Обозначим через [math]$f^{(n)}_k$[/math] n-кратную суперпозицию [math]$f_k$[/math] с собой.
Тогда [math]$$f_1(f_2(f_1^{(2)}(f_2(f_1^{(3)}(f_2(.... $$[/math] задаст бесконечную цепную дробь с рациональными коэффициентами без всякой периодичности

BoBochka

с рациональными числами мне это что-то не нравится
Ок, согласен, переходить сразу к непериодичности цепной дроби было опрометчивым. На самом деле нам нужна не просто непериодичность, а стремление к бесконечности коэффициентов [math]$1, 3, 5, 7, ... $[/math] в знаменателях цепной дроби.
Лежандр (см. книгу , которая содержит переводы первоисточников проясняя некоторые моменты из доказательства Ламберта, предлагает следующую лемму:
Если в бесконечной цепной дроби
[math]{\Large $\frac{m_1}{ n_1 +  \frac{m_2}{n_2 + \frac{m_3}{n_3 + \frac{m_4}{n_4 + ...  }    }} }$ }[/math]
числа [math]$m_i$[/math] и [math]$n_i$[/math] — целые и [math]$|\frac{m_i}{n_i}| < 1$[/math], то значение цепной дроби есть иррациональное число.

Мы легко можем переписать цепную дробь Ламберта в целочисленной форме, как этого требует лемма Лежандра:
[math]{\Large $ \tg x = \frac{1}{ \frac{1}{x} -  \frac{1}{\frac{3}{x} - \frac{1}{\frac{5}{x} - \frac{1}{\frac{7}{x} - ...  }    }} } =  \frac{1}{ \frac{n}{m} -  \frac{1}{\frac{3n}{m} - \frac{1}{\frac{5n}{m} - \frac{1}{\frac{7n}{m} - ...  }    }} } = \frac{m}{ n -  \frac{m^2}{3n - \frac{m^2}{5n - \frac{m^2}{7n - ... }    }} }$ }[/math]
где [math]$x=\frac{m}{n}$[/math]

stm7543347

Ну таки да, либо 0, либо 1, а всякие "может быть" — не наш метод! :cool:

tester1

про которую вы даже не можете рассказать
посмотри в вики http://ru.wikipedia.org/wiki/%CD%E5%EF%F0%E5%F0%FB%E2%ED%E0%...

Sergey79

я на днях в одном из споров в сосите привел аргумент из вики. Почуял неладное, погуглил - и понял что в вики была наглая откровенная ложь и дезинформация. Так что вики можно пользоваться только когда уже сам в теме. А кто нет?
И вообще вон правильно выше выяснили: не все так просто, какая-то неочевидная Лемма нужна. Я ж про то и говорил, мне физический смысл подсказывал, что одной непериодичности мало. Ведь цепная дробь - это та же динамическая система, а в ней для образования хаоса кой чего требуется, одной непериодичности мало. Нужна, например, ограниченность, чтобы генерить отскоки вместо монотонности. Вот в лемме как раз условие |m/n|<1 то самое что уже намекает на возможность возникновения хаоса и следовательно иррациональности.
Вот например
[math]$x_{n+1}=2x_n$[/math] это тривиальная линейная система. А то же уравнение с ограниченностью
[math]$x_{n+1}=\{2x_n\}$[/math] это шикарная нелинейная система с динамическим хаосом.

griz_a

Тогда надо понятнее формулировать свои вопросы, потому что приводить ряд из [math]$2^{-i} $[/math] как пример непериодической цепной дроби - это треш оО

BoBochka

какая-то неочевидная Лемма нужна
На самом деле лемма Лежандра практически очевидна, но для её формального обоснование требуется немного повозиться с неравенствами (на уровне средней школы).
Лемма (Лежандр). Пусть в бесконечной цепной дроби
[math]{\Large $\frac{m_1}{ n_1 +  \frac{m_2}{n_2 + \frac{m_3}{n_3 + \frac{m_4}{n_4 + ...  }    }} }$ }[/math]
числа [math]$m_i$[/math] и [math]$n_i$[/math] — целые и [math]$|\frac{m_i}{n_i}| < 1$[/math]. Кроме того, для достаточно больших [math]$i$[/math] требуется: [math]$|n_i|-|m_i|\neq 1$[/math]. Тогда значение цепной дроби есть иррациональное число.

Доказательство.
Шаг 1. Все рассуждения будем проводить одновременно для исходной цепной дроби и для любой её "хвостовой поддроби".
Рассмотрим подходящие дроби [math]$D_k$[/math] длины [math]$k$[/math] для бесконечной цепной дроби.
Докажем индукцией по [math]$k$[/math], что [math]$|D_k| < 1$[/math]. Действительно, [math]$|D_k| =  |\frac{m}{n+D_{k-1}} |<1$ [/math],
так как числа [math]$m$[/math] и [math]$n$[/math] — целые, [math]$|\frac{m}{n}| < 1$[/math] и по предположению индукции [math]$|D_{k-1}| < 1$[/math].
Таким образом, любая подходящая дробь по модулю меньше единицы. Следовательно, значения исходной цепной дроби и её "хвостовых поддробей" не превосходят единицы, так как, напомню, значение цепной дроби — это предел значений её подходящих дробей.
Без ограничения общности можно считать, что [math]$|n_i|-|m_i| \neq 1$[/math] уже начиная с [math]$i=1$[/math]. Поэтому исходная цепная дробь [math]$D =  \frac{m_1}{n_1+D^{\prime}}$ [/math] по модулю строго меньше единицы, так как её "хвостовая поддробь" [math]$|D^{\prime}| \leqslant 1$[/math].
Шаг 2. Предположим, что значение цепной дроби [math]$D = \frac{B}{A}$ [/math] — рациональное число, где [math]$A$[/math] и [math]$B$[/math] — целые числа, причем [math]$|B| < |A|$[/math] по доказанному на первом шаге.
[math]$D =  \frac{m_1}{n_1+D^{\prime}}$ [/math], поэтому "хвостовая поддробь" [math]$D^{\prime} = \frac{C}{B} $[/math] — рациональное число, причем число [math]$C = m_1A - n_1B$[/math] — тоже целое. Продолжая рассматривать поддроби поддробей, получим бесконечную строго убывающую последовательность натуральных чисел: [math]$|A| > |B| > |C| > ...$[/math] Противоречие.
Таким образом, значение цепной дроби иррационально.

Jusun

Цепная дробь в курсе что такое?
В процитированном сообщении не было слова цепная, что сбило меня с толку.
Основная идея сообщения была в том, что утверждение про иррациональность цепной дроби указанного вида ещё надо доказать.
P.S. Не нападайте на , это я пропустил момент про то, что дробь обязательно цепная.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: