Найти решения уравнениея в целых в матлабе.

olegikristina

Это можно вообще в матлабе сделать? На С пргрнал только для довольно малых чисел, хочется большего, в матлабе это наверное можно сделать и наверное это очень просто, помогите, пожалуйста.
t^2(p^2+q^2)=(1+p^2q^2) p,q - простые

margo11

а что надо от этого уравнения? найти любое решение? найти несколько в заданном диапазоне? найти все?
есть ограничения на p,q?

olegikristina

Есть гепотеза, что уравнение решений не имеет. Я хотел проверить для больших p,q. С помощью mathematica уже проверил для всех p,q<100000, что решений нет, но как доказать для всех, понятия не имею.

a101



но как доказать для всех, понятия не имею.
Пусть p и q больше 2 (двойку потом разберем). Так же пусть p >= q

t^2 (p^2 + q^2) = (1 + p^2 q^2)
t^2 q^2 - 1 = p^2 (...)
(tq-1tq+1) = p^2 (...)

tq-1 и tq + 1 одновременно на p делится не могут, значит одно из них делится на p^2.
То есть:
tq+1 >= p^2 => t >= p
Но тогда t^2 (p^2 + q^2) явно больше (1 + p^2 q^2).

a101

В случае q = 2 имеем
t^2 (p^2 + 4) = (1 + 4 p^2).
Если t >= 2 то левая часть больше правой. Если t^2 = 1
p^2 + 4 = 1 + 4 p^2
p^2 = 1
p = 1 (не простое).

cafepark

Вот что мне придумалось.
Приведем ур-е к виду: p^2 t^2 - 1 = (p^2 - t^2) q^2.
В силу положительности левой части t < p.
Далее считаем, что p <= q - нечетные простые числа.
q^2 | (pt - 1) (pt + 1 поэтому, т.к. q - простое, либо q^2 | pt-1 либо q^2 | pt + 1, ибо общий делитель (pt - 1) и (pt + 1) делит 2.
В обоих случаях имеем противоречие с тем, что t < p <= q .
Всё.

cafepark

Ой меня опередили.

olegikristina

Спасибо Вам огромное, люди. Очень благодарен - несколько дней убил на это "чудо". Стыд. То, что два числа, отличающиеся на два не могу иметь общего делителя кроме 2 мне в голову абсолютно не приходило. Я дерево. :))
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: