Что такое проективное преобразование

Boter

что такое проективное преобразование?
попроще можно определение, но строгое
а то не очень понятно определение "преобразование проективной плоскости, индицуруемое (это непонятно) линейным преобразованием в R3

roman1606

аффинное преобразование на тройке однородных координат

dinka

что такое однородные координаты?
(ну не было у меня в курсе проективной геометрии...)

roman1606

ну, не строго, но может быть, понятно, x=x1/x3, y=x2/x3, когда точка конечная. т.е. эллипс в однородных запишется как x1^2+x2^2=x3^2.
а бесконечно удалённые точки - в которых x3=0, но какая-нибудь из других координат отлична от нуля.

roman1606

подробнее:
рассмотрим R3 с координатами x1,x2,x3. пусть обычная плоскость x,y - это x3=1. элементы проективного пространства - все прямые, проходящие через (0,0,0). соответсвенно, (x1,x2,x3) - направляющий вектор такой прямой. тогда обычным точкам плоскости соответствуют прямые, ее пересекающие, а бесконечно удалённым - те, у которых х3=0.

Boter

это ты написал модель проективной плоскости (там где подробнее
а проективное преобразование-то как понять? что за преобразование с этой плоскостью?

roman1606

это афинное преобразование в R3, то есть на множестве наших прямых

NDU13

Вот есть R3.
В нем координаты (x1,x2,x3).
Делаем в нем линейные преобразования. Получатся в R3 новые координаты(y1,y2,y3 которые являются линейными функциями от старых (x1,x2,x3).
И есть RP2, которое получается из R3 так: все прямые в R3, проходящие через (0,0,0) объявляются точками пространства RP2 ну и что-то там еще обычно говорится.
Так вот, в RP2 вводятся так называемые однородные координаты - (x1:x2:x3) - так они обозначаются. А обычные координаты в RP2 получаются из однородных, например, так (x1/x3,x2/x3). Или еще можно делить на x1 или x2, смотря, что нам удобнее.
А теперь, если мы сделали линейное преобразование координат в R3, то просто подставляем выражения старых координат xi через новые yj в однородные или неоднородные координаты.

NDU13

По сути дела, однородные координаты задают направляющий вектор прямой в R3, которая является точкой RP2.

Boter

однородные координаты - это вектор с тремя координатами?

Smintz

я так понимаю, это координаты (x1:x2:x3 x3=1 или x3=0(тогда это беск. уд. точка)

NDU13

Нет, однородные координаты, это тройка (x1:x2:x3).
А направляющий вектор они только задают.
Прямая проходит через (0,0,0) и точку (x1,x2,x3 следовательно, ее направляющий вектор есть (x1,x2,x3). Но он им и останется, если все координаты поделить на одно и то же число. Например, какую-то координату, x1, x2 или x3.
Вот и однородные координаты НЕФОРМАЛЬНО можно понимать как тройное отношение. И еще НЕФОРМАЛЬНО: точка в RP2 задается однородными координатами, которые есть, по сути, тройное отношение координат направляющего вектора, определяющего прямую в R3 и проходящую через (0,0,0 которой мы ставим в соответствие нашу точку.
Или это двойным отношением называется...

roman1606

да. только раз он олицетворяет собой прямую, то его длина не важна, поэтому и однородные.

fatality

попытайтесь превратить множество проходящих через начало координат прямых в R3 в гладкое многообразие - и вы естественным образом придете к описанным здесь однородным локальным координатам на 3х картах. линейные автоморфизмы R3 (с точностью до чистых растяжений ясное дело, индуцируют автоморфизмы этого многообразия.

Boter


только ещё сумма по j = 1 до 3
объясните, плиз, почему это так в проектичных преобразованиях?
куда девается линейная часть, которая есть в афинных и изометричных преобразованиях?
это используется в теореме о проективной классификации

Sander

я зарюхал! прикинь!
Маза в слежующем:
берем уравнение кривой на R^2:
\Sum B_i,j *X_i * X_j + \Sum A_i * X_i + C =0
И вспоминаем, что в переходя к проективным координатам имеем:
X_i^P = X_i/X_3
Теперь подставляешь в уравнение, умножаешь на (x_3)^2 и любуешь на полученную квадратичную форму.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: