Сформулировать математическую постановку задачи

Tfrn

Help. Сабж.
Есть медная пластина 10 см, 5 см, 1 см.
ее темпиратура 20 градусов Цельсия
ее подогревают со стороны 1x5.
найти темпиратуру в центре пластины и противоположной стороны через 3 минуты после начала подогрева.

elektronik

А чем тебя такая формулировка не устраивает?
Правда, несколько не математическая, но тут трудно представить, как сформулировать по-математически...

Bogdanov_45

уравнение Лапласа + ГУ(по памяти так половина электрода в мат постановке будет)+НУ

Vitaminka

типа урчп

Sergey79

Только не уравнение Лапласа, а уравнение теплопроводности. одно НУ есть, не хватает только информации о том как ее подогревают (мгновенный вброс теплоты - второе НУ, поддержание постоянной температуры - ГУ). Судя по всему, задача одномерная, так что из размеров пластинки важна только ее длина.

Tfrn

задачу задали знакомому.
он обратился ко мне.
тема - математический аппарат конечных разностей.
Ни какой информацией про медь на данный момент я не владею
Меня интересует какое математическое уравнение надо решить, чтобы получить ответ.
Или хотя бы где про это можно прочитать, но так чтобы не слишком длинно.

nazare

Нам что-то подобное преподавали в курсе уравнения математической физики. Были две прикольные методички - там как раз похожие вещи давались. Бралось в БУПе. Вроде так и назывались - ур. мат. физ.

Tfrn

Замечательно!
Но я сейчас в Астрахани.
И в нашей библиотеке даже журнала "Квант" нет ...

Tfrn

Только не уравнение Лапласа, а уравнение теплопроводности. одно НУ есть, не хватает только информации о том как ее подогревают (мгновенный вброс теплоты - второе НУ, поддержание постоянной температуры - ГУ). Судя по всему, задача одномерная, так что из размеров пластинки важна только ее длина.

Спасибо, уже что то понятное.
Как составить первое НУ? -- у меня сейчас про медь никакой информации нет, книг нет, да и опыта по составлению разностных уравнений к физическим задачам тоже...
Будем считать, что пластинка подогревается постоянно.
Как тогда составить второе НУ?
И при чем тут тема "математический аппарат конечных разностей"
Это на компе обязательно решать надо или руками взять можно.

kachokslava

не хватает данных - насколько мощно подогревают?
т.е. нужно задать поток через край

Tfrn

Лучше дай название и книги в которой есть ясная и достаточно краткая иформация для ответа на вопрос.

Tfrn

Скорее всего 100 градусов Цельсия.
А поток через край -- это вам виднее (медь она и в Африке медь)

galka1

Токо численно решать (самое простое а все что преподают (по крайней мере на ФФ) на ОБЩИХ курсах - это только для стационарных случаев

kachokslava

Задача и поставлено - решить численно. Задача на разностные схемы.
Задача уже не стационарная - есть зависимость по времени

kachokslava

Задача очевидно одномерная + время: u=u(t,x) - температура.
Уравнение теплопроводности в твоём случае пишется так:

коэффициент K - зависит от материала и его геометрии. это будет что-то вроде теплопроводности умноженной на площадь поперечного сечения.
Сейчас настрочу как решать при помощи разностных схем

kachokslava

разобьём отрезок 0..10 на несколько частей с шагом h, назовём точки x_0,..,x_N
по времени шаг = тау,
значения в точке (x_n,t_m) будем обозначать u_{n}^{m}
производную по t можно приблизить так:

вторую производную по координате можно приблизить так:

u^{0}_{n}=20
подогрев на одном из концов описывается так:
u'(0)=Q (производная по координате! Q- "насколько сильно греют") "К этому концу подключен нагреватель (или холодильник) мощьности Q")
если на конце удерживается температура T_0, то краевое условие выглядит так:
u(0)=T_0 (без производной!) "На этом конце массивное тело с температурой T_0" - это два разных условия.
подставляем эти разности в уравнение, получаем:

отсюда значения "в следующий момент времени" - u^{m+1}_{n} выражается через значения "в предыдущий момент времени" - u^{m}_{n}.
т.о. мы можем вычислить значения во всех внутренних точках.
Значения в крайних точках считаются исходя из начальных условий - в точке 0 полагаем u^{m+1}(0)=u^{m}(0)=T_0 (для варианта №2) или же вычисляем для пункта 1 отдельно (случай холодильника/нагревателя). в точке 10 считаем как-нибудь, например u^{m+1}_{N}=u^{m+1}_{N-1}, или линейно сапрроксимировать по последним двум значениям
в начальный момент температура везде - 20 градусов. сделав нужно число шагов по времени получим нужные значения температуры.
С теоретической точки зрения могу добавить, что в данном случае схема явная, плохо устойчива (надо брать tau << h^2 надо дополнительно исследовать устойчивость и сходимость. По этим вопросам лучше почитать книги по теории разностных схем. например, Бахвалов, Жидков, Кобельков "Численные методы".
также неплохие книги у Самарского. посмотри на www.poiskking.ru, ищи "разностн схем"
Рассмотренная схема далеко не единственная, на реальных задачах предпочтение отдаётся неявным схемам.

gygo

а чо насчет гу с другой стороны?

kachokslava

А там его нет. зачем?
Я же написал, как вычислить значение в конечной точке - интерполяция по предыдущим 1,2,3 значениям

stat64

Это одна из тем курсовой по компьютернуму моделированию на физфаке 2 курс. Так что поспрашивай у физиков. Кто-то должен был это делать

Tfrn

Огромное СПАСИБО!
Все понятно.
Но еще один вопрос.
Математический аппарат конечных разностей в данном случае, подразумевает обязательно численное решение задачи?
И требуется ли при это методе проводить анализ разностной схемы на устойчивость?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: