[математикам] Помогите доказать свойство с.з. матрицы конкретного вида

Jeton89

Помогите с задачкой.
Есть матрица с элементами
[math] $$G_{ij}=(1-\delta_{ij})e^{ix_{ij}}/x_{ij}$$ [/math].
На главной диагонали нули. След матрицы равен нулю.
Кроме того
[math] $$x_{ij}=x_{ji}>0$$ [/math]
Надо доказать, что мнимые части всех собственных значений [math] $$\lambda$$ [/math] этой матрицы больше либо равны -1:
[math] $$Im(\lambda)\ge -1$$ [/math]
для любого конечного размера матрицы [math] $$N$$ [/math] при любых значениях [math] $$x_{ij}$$ [/math].
Численное решение в математике показывает, что это так. Возможно ли это доказать?
В пятом посте более детальное описание задачи.

Suebaby

i в показателе экспоненты — это индекс или мнимая единица?

Jeton89

Мнимая единица.

lilya-sati

Это неправда.
Попробуй N=10,
[math]  $x_{ij}=\frac{3\pi}{2}$  [/math]

Jeton89

Да, ты абсолютно прав. В погоне за простотой записи забыл о важном свойстве. Не думал, что это повлияет на конечный результат. Видимо надо более детально описать задачу.
Переобозначим [math] $$\mathbf{r}_{ij} = x_{ij}$$ [/math], так что теперь элементы матрицы это
[math] $$G_{ij}=(1-\delta_{ij})e^{i\mathbf{r}_{ij}}/\mathbf{r}_{ij}$$ [/math].
Эта матрица описывает распространение света в облаке атомов. При этом [math] $$\mathbf{r}_{ij}$$ [/math] - расстояния между двумя отдельными атомами [math] $$i$$ [/math]-ым и [math] $$j$$ [/math]-ым. Или
[math] $$\mathbf{r}_{ij}=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2}$$ [/math],
где [math] $$x,y,z$$ [/math], декартовы координаты соответствующего атома. То есть, другими словами [math] $$\mathbf{r}_{ij}$$ [/math] не могут быть все равны друг другу.
При этом сами элементы матрицы - это функции Грина, описывающие распространение света от одного атома к другому.
То свойство, которое нужно доказать, относительно собственных значений этой матрицы говорит об очень важном для меня свойстве динамики этой системы.

mtk79

как чисто пространственная матрица может описывать какие бы то ни было распространения?

Jeton89

Не очень понял вопрос.
Но если интересно, то в общих чертах задача следующая. Есть облако атомов и внешнее поле. Они находятся в равновесии, в том смысле, что поток входящих в облако фотонов равен потоку вылетающих. Далее я добавляю внешнее возмущающее поле и смотрю как это возмущение живет в системе. Описывается это уравнением вида
[math]$$ d (\delta S)/dt = f(G) \cdot \delta S $$[/math],
где [math]$$ \delta S $$[/math] - вектор описывающий возмущения (в нем сидят операторы а [math]$$f(G)$$[/math] - некая функция, зависящая от матрицы, свойствами которой я интересуюсь. В общем случае, возмущение приведет к некой добавке в потоке выходящих фотонов, которая будет экспоненциально во времени затухать. Однако, при определенных условиях (которые собственно и ищуться) ожидается, что этот добавочный поток сначала будет расти. То есть облако атомов выступит как усилитель. В конце, конечно же эта добавка опять затухнет.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: