Задача на интеграл Лебега-Стилтьеса

PaPik58

Надо объяснить мне, по какому принципу решается задача.
Все рассматривается на отрезке [0, a]
Пусть F(x) - ограниченная, непрерывная справа и с пределами слева в каждой точке функция. Тогда через F_(x) обозначим функцию которая определяется в каждой точке как левый предел в этой точке функции F(x). И пусть G(x) - возрастающая функция. Так вот, задача заключается в том, чтобы указать пример таких функций F(x) и G(x удовлетворяющих перечисленным условиям, что интегралы Лебега-Стилтьеса
\int{от 0 до a} F(x) dG(x)
и
\int{от 0 до a} F_(x) dG(x)
не будут равны.
Напомню, что все функции рассматривается на отрезке [0, a].
Так вот, я совсем не понимаю, как эти интегралы могут быть не равны. Объясните мне пожалуйста, как такое может быть.

griz_a

Ну, наверное, если F и F_ отличаются в точке, в которой у G разрыв.
Типа G индикатор [a/2,a]
И F, например, такая же.

lokkep

какая разница? Если разрывы у них совпадают, то интеграл вообще не сущесвует. Разве нет?

agszao

делашь меру G(x) в точке сингулярности (предел ф-ии не равен ее значению) для F(x) равной одной величине, для F_(x) другой

PaPik58

То есть вы не предлагете, например, взять F(x) = G(x равную индикатору отрезка [a/2, a]. Тогда, очевидно, F_(x) - это индикатор полуинтервала (a/2, a], а G(x) - дельта-мера в точке a/2. И тогда интеграл по этой мере равен значению функции в точке a/2.
Так вот, вы уверены, что так делать можно? Я к чему, дело в том, что интеграл Римана-Стилтьеса ни от одной из функций не будет существовать (это классический пример в матанализе). Он строится через интеральные суммы, а в нашем примере в любой интегральной сумме будет ровно одно слагаемое, соответствующее отрезку, в который попадает точка разрывов. Разность значений функции G(x) на концах этого отрезка всегда равна 1, а промежуточные точки можно брать как те, где F(x) равна нулю, так и 1. И интеральная сумма не сойдется.
Вы уверены, что при построении интерала Лебега-Стилтьеса нет таких заморочек? Я просто не помню (или не знаю) процедуру его построения. Поэтому не знаю, совмещение разрывов там критично или в отличие от интеграла Римана-Стилтьеса все нормально, потому что он строится на других принципах.
Ответьте, очень надо.

stm5345716

Интеграл Лебега-Стилтьеса --- частный случай интеграла Лебега, поэтому там всё ОК. По дельта-мере можно интегрировать любую функцию.

griz_a

Интеграл Римана тоже частный случай интеграла Лебега, но вот функция дирихле по лебегу нормально интегрируется, а по риману никак Я, честно говоря, практически пропустил в своей жизни шаг интеграл Римана-Стильтеса между интегралами Римана и Лебега, т.ч. рассуждал с т.зрения лебега %)

stm5345716

Интеграл Римана не есть частный случай интеграла Лебега.

Julia080682

Да что вы говорите?

vovatroff

Условно сходящиеся несобственные интегралы Римана, а также P.V.-интегралы,
в самом деле, не подпадают под определение Лебега.
Впрочем, и к интегралу Римана они тоже имеют весьма отдаленное отношение.

Julia080682

В смысле, v.p.? Почему они к интегралу Римана не имеют отношения? И к интегралу Лебега...

vovatroff

Посмотрите в Колмогорове-Фомине.

vovatroff

p.v. - principal value (eng.)
v.p. - valeur principale (franc.)
Потому что если функция интегрируема (R) или (L
то и ее модуль тоже интегрируем (R) или (L соответственно.
Что не верно для условно и vp- сходящихся.

lokkep

Если рассматривать интерал Римана в собственном смысле, то это частный случай интерала Лебега, потому что в теореме о том, что если интеграл Римана существует, то и интеграл Лебега существует и равен ему, никаких дополнителных условий, по-моему, нет. А вот если говорить про несобственные интегралы, то можно привести пример, когда интерал Римана существует, а Лебега - нет!

griz_a

Беда в том, что он сам сказал, что Стильтеса - частный случай Лебега, а Римана вроде частный случай Стильтеса при G=1 чисто по определению
Транзитивность-то тут всяко есть

PaPik58

В общем, да - пред-предыдущий пост пой.
А насчет главного вопроса окончательно что, все правильно? сойдет такой пример?

Julia080682

Всё ясно, спасибо всем!

stm5345716

Интеграл Римана не есть частный случай интеграла Лебега, он слабее в том смысле, что любая функция, интегрируемая по Риману, интегрируема по Лебегу относительно классической меры Лебега, причём интегралы равны. Но нельзя изобрести никакую меру, чтобы интеграл Лебега по этой мере совпал с интегралом Римана. А вот интеграл Лебега-Стилтьеса --- это по определению интеграл Лебега относительно соответствующей меры.

vovatroff

Беда в том, что он сам сказал, что Стильтеса - частный случай Лебега, а Римана вроде частный случай Стильтеса при G=1 чисто по определению
Транзитивность-то тут всяко есть
Строго говоря, ведь различают интегралы Лебега-Стилтьеса и Римана-Стилтьеса.
Думаю, не зря
См. С.М.Никольский, Курс мат.ан., т.2

vovatroff

На мой взгляд, вполне.

vovatroff

Интеграл Римана не есть частный случай интеграла Лебега, он слабее в том смысле, что
Вы все правильно сказали по существу, но: когда говорят, что ИР - частный случай ИЛ, имеют в виду именно то, что
любая функция, интегрируемая по Риману, интегрируема по Лебегу относительно классической меры Лебега, причём интегралы равны
как вы и говорите, а не то, что будто бы можно изобрести такую меру, чтобы интеграл Лебега по этой мере совпал с интегралом Римана. Т.е. не имеется в виду, что конструкцию ИР можно осуществить в духе конструкции ИЛ. Надеюсь, я понятно выразил мысль.

PaPik58

Ясно. Я еще тут Колмогорова-Фомина почитал - согласен. Только у меня возник в связи с этим еще один вопрос. Чему равен интерал по синулярной мере. Нулю? Или я что-то сильно туплю? В общем, если не нулю, то как его считать?

vovatroff

Сингулярная мера - вещь хитрая, я ее не очень понимаю, если честно.
Ваш исходный вопрос был про "меру скачков", согласитесь, там все
вроде достаточно понятно было.

PaPik58

Полностью согласен. Изначальный вопрос считаю уже закрытым. Просто прочтение навело меня на новый вопрос. Я тоже сингулярную меру не очень понимаю. Хочется разобраться. Например, если взять известную функцию Кантора (или как-то так) и проинтерироват по ней что-нибудь. Скажем, x или x^2. То как это делается и что получится?

vovatroff

Послушаем профессионалов.

Sanych

Если интегрировать x или x^2, то логичнее всего проинтегрировать по частям, заменив
( \int x df )
на
(xf|_0^1) - ( \int f dx )
Ну или, раз функция Кантора (и, конечно, соответствующая ей сингулярная мера) определяется как предел, то можно ещё найти предел интегралов и установить корректность перехода к пределу, воспользовавшись непрерывностью интегрируемой функции.

vovatroff

А разве аналог Ньютона-Лейбница справедлив для Стильтеса с такими скверными функциями?
Я просто не в курсе, просветите.
По смыслу Ваша идея напоминает мне прием, что используется при дифференцировании
обобщенных функций. Но там это есть ОПРЕДЕЛЕНИЕ понятия производной. Здесь - вроде нет.

Sanych

Ну просто есть формула, позволяющая выразить один интеграл Стильтьеса (fdg) через другой (gdf). Она верна при каких-то незначительных ограничениях, вроде интегрируемости одной из частей. К сожалению, ссылок на точную формулировку я не знаю.

vovatroff

Ну да, а лезть в книжки меня тоже ломает...
Кому надо - тот глянет.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: