Особая волшебная функция

krec1603

Мне тут по работе понадобилось придумать одну функцию (у меня странная работа, да). Функция f: [0,\infty) -> [0,\infty) должна быть гладкой и удовлетворять следующим условиям:
f(1) = 1
f(1+x)+f(1+1/x)=1 для всех x\in (0, 1]
Отсюда в частности следует, что f(2) = 1/2. Легко придумать негладкую функцию, имеющую разлом в точке 2, а вот с гладкой у меня пока затык. Да и существует ли такая функция?

Niklz

если ты продифференцируешь свое условие по x, то получается единственная удовлетворяющая гладкая функция - константа. или я туплю?

kshangin

получается единственная удовлетворяющая гладкая функция - константа. или я туплю?
f(1) = 1, f(2)=1/2 - это не константа, если я не туплю.

Niklz

вот именно. получается условия гладкости и f(1) = 1, f(2)=1/2 противоречат друг другу.

kshangin

противоречат друг другу
Угумс. Теперь догнал.

krec1603

если ты продифференцируешь свое условие по x, то получается единственная удовлетворяющая гладкая функция - константа. или я туплю?
Чот я щас туплю. У меня после дифференцирования получается:
f'(1+x) - 1/x^2 * f'(1+1/x) = 0
В точке x=1 это тождественно
f'(2) = f'(2)
Или я тебя не понял?

AlekseevaJuli

Вообще 1/x подходит под оба условия, но она не определена в 0, осталось заметить что про полуинтервал [0,1) условия ничего не говорят поэтому можно как угодно переопределить на нем функцию для гладкости и определенности.
Более того если как угодно гладко определить функцию на [0,2] так чтобы на [1,2] она лежала в [0,1] с f(1)=1 и f(2) = 0.5, то по второму условию она автоматически гладко продолжится на оставшийся кусок оси.

tester1

Да и существует ли такая функция?
wolframalpha говорит, что нет http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%281%29+%3D+1%2C+f%281...
но я бы ему не доверял полностью

krec1603

Вообще 1/x подходит под оба условия, но она не определена в 0, осталось заметить что про полуинтервал [0,1) условия ничего не говорят поэтому можно как угодно переопределить на нем функцию для гладкости и определенности.
1/x, еклмн, как просто-то оказалось. Вот теперь-то наши алгоритмы заработают по-полной! Спасибо!

tester1

монетизируй благодарность автору идеи :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: