Вопрос по действительному анализу

ESCALADE

Верно ли что всякое несчетное множество на прямой содержит замкнутое несчетное подмножество?

NHGKU2

Неверно. Например, множество иррациональных чисел на отрезке [0,1] — несчетно, но не содержит замкнутого несчетного подмножества, т.к. в противном случае в него обязательно попали бы рациональные точки.

zuzaka

может, я туплю, но имхо множество иррациональных чисел:
а) является несчетным;
б) не содержит замкнутых несчетных подмножеств.

ESCALADE

Спасибо.

JuLsJuLs

множество иррациональных чисел на отрезке [0,1] — несчетно, но не содержит замкнутого несчетного подмножества, т.к. в противном случае в него обязательно попали бы рациональные точки.
Неверно. Один из сдвигов канторовского множества $\alpha+K$ замкнут, несчетен и не содержит рац. точек.
Действительно, рассмотрим все сдвиги $K$. Сдвиги, которые задевают точку $q$, образуют в точности множество $q-K$, т.е. множество лебеговой меры ноль. Соотвественно, объединение по всем рациональным $q$ тоже имеет меру ноль. Значит, сдвиг $K$ в иррациональные точки существует, более того, таких сдвигов вагон.

chmax

более того, таких сдвигов вагон.

ESCALADE

иррациональных чисел на отрезке [0,1] — несчетно, но не содержит замкнутого несчетного подмножества, т.к. в противном случае в него обязательно попали бы рациональ
Почему в несчетное замкнутое множетсво попадают рациональные точки?
Например зарумеруем все рациональные точки на отрезке [0,1]. Окружим каждую интервалом длины 1/(2^(n+2 (n - номер точки).
Объединение этих интервалов открыто, его мера меньше 1/2. Дополнение замкнуто и несчетно, кроме того не содежит рациональных точек.
Или я опять затупил?

zuzaka

хотел спросить, где же ошибка в наших рассуждениях, но сам вижу слабое место
если множество иррациональных чисел нигде не замкнуто, отсюда еще не следует, что его подмножества тоже не замкнуты. По крайней мере, я не знаю, как это доказать, и не уверен, что это так.

JuLsJuLs

) Термина "нигде не замкнуто" ни разу не видел, и не могу придумать, как придать ему разумный смысл.
2) По поводу философской причины - да, все остальные точки (рациональные) являются пределами иррациональных. Но иррациональные точки ничуть не хуже являются пределами иррациональных. Так что ошибка вроде всего-навсего в наивном обращении импликации.

zuzaka

элементарно
на любом отрезке числовой прямой оно не является замкнутым
не знаю, юзают ли такое определение математики, но мне оно представляется вполне естественным
/ Так что ошибка вроде всего-навсего в наивном обращении импликации.
нет, ошибка в том, что поленился подумать, действительно ли любое разрывное несчетное подмножество иррациональных чисел содержит все иррациональные числа, лежащие на каком-либо интервале
впрочем, не суть в любом случае, это ошибка

lenmas

Если множество имеет положительную меру, то да, содержит. Про произвольное несчетное множество надо думать дальше.

Zoltan

неверно
берём множество Бернштейна - множество, пересекающееся с каждым замкнутым нигде не плотным по счетному числу точек
любое его замкнутое несчётное подмножество не является нигде не плотным, то есть содержит открытое множество, что невозможно, поскольку мера множества Бернштейна - 0

lenmas

Осталось его построить

Zoltan

за построением в инет, что я - лошадь что ли?

lenmas

Назвался груздем, полезай в кузов. Словами умными кидаться любой может, а вот объяснить в короткие сроки...

Zoltan

научу пользоваться гуглом. дорого. качество гарантируется

vitamin8808

Богачёв, Основы теории меры, том 1, пример 1.2.17 на стр. 90.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: