Серьезная проблема из теории меры

sirp

Пусть действительные функции f(x) и g(x) определены на отрезке [0;1].
Функция f(x) принимает только значения {a1,a2...} (счетное число значений) на борелевских множествах {F1,F2...} cоотвественно.
Функция g(x) принимает те же значения на борелевских множествах {G1,G2...}. Меры Лебега множеств F_i и G_i равны при равных номерах i.
Существует ли взаимнооднозначное отображение Т:[0;1]->[0;1] обладающее следующими свойствами:
1)T сохраняет меру Лебега, т.е. для любого борелевского множества A меры A и T(A) равны.
2)g(x)=f(T(x почти для всех x из [0;1].
Этот вопрос очень важен для моего диплома (забавно, но диплом - о финансовых портфелях). Буду благодарен за любые идеи.
Ответ в случае конечного числа значений тоже будет очень полезен.

Forsit

Нет.
ПРимер сейчас приведу.

Forsit

f равно нулю всюду кроме 0 в нуле -1.
g равно 0 всюду кроме 0 и 1 в этих точках-1.
взаимно однозначного отображения тыы не построишь.
Вот если требовать, чтобы это отображение было определено п.в. , тогда вопрос куда интереснее.

Forsit

Опс! надо читать условия.

sirp

ага Но за попытку уже спасибо.

edikbl

Хинт. это не серьёзная проблема, а упражнение, уровня - не выше учебника Натансона по тфдп.
(Бывают задачи, о которых если не знаешь, что она простая - то не решишь.)

edikbl

ответ "да"

Sanych

Предлагаю следующую конструкцию биекции между борелевскими множествами F и G одинаковой меры:
Пусть f(t)=\mu([0,t] \cap F) - непрерывная, f^* (s)=min{t | f(t)=s} - ее "квазиобратная".
Аналогично g. Определим T(x)=f^*(g(x.
Вроде то, что написано ниже, доводится до доказательства. Но у меня бывает по разному, к сожалению
Мера точек F, переходящих в одну, 0, они образуют отрезок. Таких отрезков не более, чем счетное число; выбросив их, получим
инъективность.
Мера точек G, не попадающих в образ, 0 - будет следовать из того, что отображение сохраняет меру на F,
то есть A \subset F => \mu( T(A) )=\mu(A)
Доказательство: 1)пусть счетный набор интервалов покрывает A. Тогда точки из A дают на G для каждого интервала меру не более,
чем мера интервала. Значит мера T(A) не больше.
2) пусть счетный набор интервалов покрывает T(A) (измеримость вроде следует из монотонности?)
тогда их прообразы имеют вид интервалов, в пересечении с F имеющих не большую меру [от противного]
Значит мера T(A) не меньше.
точки, не нашедшие себе партнеров, можно включить в континуальные множества меры 0 и отобразить произвольной биекцией.

lapifa

Сейчас попытаюсь разобраться, что-то подобное я пробовал, у меня почему-то не получилось. А пока вопрос:
Мера точек F, переходящих в одну, 0, они образуют отрезок.

как мера отрезка может быть равна 0?

sirp

Я залогиниться забыл, когда предыдущее сообщение писал

sirp

что за отрезок - понял, вопрос снимаю

sirp

Кстати, судя по определению, T действует из G в F

vodnik2

ответ "Да". Основное здесь - любые два множества на прямой одинаковой меры изоморфны "как пространства с мерой" (на каждом из двух множеств рассматривается мера, индуцированная мерой Лебега). Можно и самому доказать (как а так, например, у Халмоша в "Лекциях по эргодической теории" такое доказывалось.

sirp

А можно, подробнее, где эти "Лекции..." взять? Мне просто совершенно ни к чему это в дипломе строго доказывать (тема все-таки немножко не о том лучше куда-нибудь сослаться.
To VDremov: у тебя все правильно, оказывается, у меня не получилось таким образом доказать, потому что я забыл про непрерывность функций f(t) и g(t)
Всем большое спасибо за помощь

vodnik2

Лекции Халмоша (лемма на странице 95 в парагафе "равномерная аппроксимация"; слегка извиняюсь, мне казалось, что там рассуждение в духе, которое предложил , однако там изящно используется эргодическая теория [а посему читателю, которому лень читать всю книжку, а нужна только эта лемма, это совсем не удобно])
1) валялись в локалке электронном виде (у меня есть, правда в этом дурацком формате - по одному pfd-файлу на страницу - скажи куда, могу залить)
2) недавно (пару лет назад) переиздались в серии РХД - бывают на лотках в аргументе
3) подозреваю, что в читалке мехмата должна быть

sirp

Спасибо. Заливать не надо, я, наверное, зайду в библиотеку.

Katty-e

У меня есть, могу завтра дать.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: