Почему cadlag-функция имеет не более счётного числа разрывов?

scoutalex

Напомните плиз кратно. Из головы вылетело и никак не могу вспомнить :confused:

lenmas

Теперь по-русски то же самое!?

scoutalex

Теперь по-русски то же самое!?
Cadlag-функция - функция, непрерывная справа и имеющая пределы слева.
Что-то ещё пояснить?

z-helenium

[math][res=120]Пусть $f\colon \mathbb{R} \to  \mathbb{R}$ --- непрерывна справа на $ \mathbb{R}$. Для каждой её точки разрыва $x_0$ определим высоту разрыва как $$\inf_{\epsilon > 0}\sup_{x, y \in (x_0 - \epsilon, \, x_0 + \epsilon)}|f(x)-f(y)|>0$$  (больше нуля, так как иначе $x_0$ была  бы точкой непрерывности).[/math]
[math][res=120]Предположим, что у $f(x)$ существует несчётное число разрывов, $\Rightarrow \exists \, n \in \mathbb{N}$ такое, что у $f(x)$ несчётное число разрывов, с высотой, большей $1/n$ (так как объединением по всем $n$ получим все разрывы). Но в силу непрерывности справа $\forall \, x_0 \in \mathbb{R} \; \; \exists \, \epsilon >0$ такое, что $$\sup_{x, y \in (x_0, \, x_0 + \epsilon)}|f(x)-f(y)|\leqslant\sup_{x, y \in (x_0, \, x_0 + \epsilon)}(|f(x)-f(x_0)|+|f(y)-f(x_0)|)<\frac{1}{n}$$[/math]
[math][res=120]Значит, на интервале $(x_0, \, x_0 + \epsilon)$ у $f(x)$ нет разрывов с высотой, большей $1/n$. Следовательно, каждому разрыву $f(x)$ с высотой, большей $1/n$, можно поставить во взаимно-однозначное соответствие рациональное число (любое из указанного интервала).    Это противоречит  несчётности числа разрывов $f(x)$ с высотой, большей $1/n$; таким образом, предположение о несчётности числа всех разрывов $f(x)$ неверно.[/math]
 

scoutalex

Спасибо большое!
Теперь спать буду спокойно ;)

Half_Light

зачем ухищряться, выбирая разрывы высоты такой-то, почему нельзя просто в каждом скачке выбрать рац. точку

Suebaby

зачем ухищряться, выбирая разрывы высоты такой-то, почему нельзя просто в каждом скачке выбрать рац. точку
Скачки пересекаться могут. Нам же не дана монотонность.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: