Мат.ожидание сотой степени синуса

natalia

решение в студию

electricbird

уже был выписан способ получения точного ответа, чем тебе не решение?

natalia

не знаю, радоваться мне за тебя или посочувствовать.
Ты, наверное, счастлив витать в банаховых пространствах. Однако не все такие знающие, как ты.

SO-RO-KA-

> уже был выписан способ получения точного ответа, чем тебе не решение?
ответ неправильный получается, вот чем

electricbird

ну да, ну да чему там, говоришь, интеграл от "4-й степени синуса" равен?
типа хинт: первообразная 4-й степени считается явно(можешь проверить дифференцированием):
1/32(12 x - 8 Sin[2 x] + Sin[4 x])
её вариация на отрезке 2 Pi равна 3 Pi / 4.
p.s. дальнейшие разжёвывания - только за пиво

Ksun

Ответ правильный, 2корня из пи на гамма-функцию от 50,5, деленное на гамма от 51. Без Гамма функций:
pi*99*97*..*3*1/(50!*2^50)
Аналогично считается интеграл от любой степени синуса

Ksun

Решение для синуса в степени n:
2*sqrt(pi)*Г(n/2+1/2)/Г(n/2+1).
при желании расписывается Г(n/2+1/2) (или Г(n/2+1 по формулам: Г(s+1)=s*Г(s s>0;
Г(0.5)=sqrt(pi);
Г(1)=1.

Ksun

Первый курс (или второй)
...!

Nefertyty

пришлось возвращаться к теме, раз обещал
> чему там, говоришь, интеграл от "4-й степени синуса" равен?
ты посчитал правильно, интеграл равен 3*Pi/4, а значит среднее значение равно 3/8, что более чем на 10% меньше 1/2
соответственно, среднее значение sin^100 (x) ещё меньше
на лекции я забивал, поэтому придётся поверить наслово вот в это:
> Решение для синуса в степени n:
> 2*sqrt(pi)*Г(n/2+1/2)/Г(n/2+1).
это, как я понял, есть значение интеграла Int_0 ^ {2*Pi} {(sin^n (x) dx}
однако, пользуясь рекуррентным соотношением:
> Г(s+1)=s*Г(s s>0
можно сделать вывод, что эта величина стремится к нулю при n->\inf,
что и интуитивно легко понять
откуда вы взяли ответ 1/2 - остаётся загадкой

electricbird

ты посчитал правильно, интеграл равен 3*Pi/4, а значит среднее значение равно 3/8, что более чем на 10% меньше 1/2
соответственно, среднее значение sin^100 (x) ещё меньше

я же сказал - дальше разжёвываю за пиво
то ты для нормировки делишь, то умножаешь определись и делай что-нибудь одно
у меня нормировок не было
>на лекции я забивал, поэтому придётся поверить наслово вот в это:
тебе пару книжек порекомендовать? что-нибудь типа "матан для чайников"
можно сделать вывод, что эта величина стремится к нулю при n->\inf,
что и интуитивно легко понять

какая величина? n=100 никуда не стремится
>откуда вы взяли ответ 1/2 - остаётся загадкой
писал уже - формула Стирлинга в помощь, при данном подходе а обучать правильному подходу я никого не обещал

Nefertyty

> то ты для нормировки делишь, то умножаешь определись и делай что-нибудь одно
чтобы получить мат. ожидание (среднее значение
нужно значение интеграла разделить на 2*Pi
> у меня нормировок не было
см. выше
> формула Стирлинга в помощь
никак не получается 1/2
гораздо меньше получается
> а обучать правильному подходу я никого не обещал
при правильном подходе получится другой ответ?
наверное, это и есть одно из проявлений глубины?
В военное время мат. ожидание sin^{100} (x) может достигать 1/2

electricbird

>чтобы получить мат. ожидание (среднее значение нужно значение интеграла разделить на 2*Pi
и порой поделив 1/2 на два пи, получается
?
ещё раз, по буквам - вопрос нормировок меня не волнует. хочешь - нормируй, не хочешь - прочитай пост Контры, сходи на пару лекций и не нормируй, где не надо
>никак не получается 1/2
>гораздо меньше получается
утверждение в студию. кто именно и кого меньше получается. и что значит "гораздо"
а то опять скажешь, что надо кого-то куда-то умножить
>при правильном подходе получится другой ответ?
при правильном подходе не нужно спец. знаний, как-то гамма-функции и формула Стирлинга. ответ, очевидно, тот же
правильный подход ограничивается мат. программой физмат школы

Xephon

> integrate(sin(x)^100,x=0..Pi);
12611418068195524166851562157 Pi
--------------------------------
158456325028528675187087900672
> evalf(%);
0.2500369635
>
powered by Maple 8.0

Nefertyty

>чтобы получить мат. ожидание (среднее значение нужно значение интеграла разделить на 2*Pi
соответственно, если среднее значение примерно 1/2, то интеграл - примерно пи, с чем ты и согласился
> прочитай пост Контры
говоря формально, он в своём посте этот вопрос не затронул
> сходи на пару лекций
на эти лекции я ходил
так это, я не понял, чему таки равен интеграл Int_0^{2*pi} {sin^{100} (x) dx} ?
то он у тебя pi, а то 1/2

Nefertyty

сорри, этого синтаксиса я не понимаю

Xephon

наверху в виде дроби умноженной на Pi посчитан интеграл от 0 до Pi (то есть половинка требуемого
внизу она выведена в приближенном виде. получилось очень близко к 0.25

Nefertyty

тогда, если верить твоей программе, среднее значение получается около 1/(4*Pi)

Xephon

да, ровно так и получается
программе доверять можно

Nefertyty

А оно может посчитать Г(n/2+1/2)/Г(n/2+1) при n=100?
А то я похоже в вычислениях по формуле Стирлинга тоже ошибся.

electricbird

>то интеграл - примерно пи, с чем ты и согласился
про интеграл тебе было сказано , чётко и ясно
>говоря формально, он в своём посте этот вопрос не затронул
можешь написать ему в приват
>на эти лекции я ходил
без комментариев.
>то он у тебя pi
никогда не был. я говорил, что ты можешь отнормировать ответ, при желании
>так это, я не понял, чему таки равен интеграл Int_0^{2*pi} {sin^{100} (x) dx} ?
хорошо, ещё раз - 0.5. цифры арабские, разделены десятичной точкой

Xephon

> GAMMA(50.5)/GAMMA(51);
0.1410682503
>
powered by Maple 8.0

Nefertyty

это 1/sqrt(50) примерно, всё правильно тогда я посчитал

Xephon

мне кажется, интеграл Djulin'ом вычислен правильно
да вроде бы он несложно и считается (сейчас влом все вспоминать )

Nefertyty

вот ты утверждал,
что примерно 1/2 - ответ - цитирую - в задаче про синус
каковая задача формулировалась как - цитирую - найти мат. ожидание сотой степени синуса с точностью 10%
оказалось, что под мат. ожиданием ты понимаешь хз что, вот это и ввело меня в заблуждение

electricbird

>оказалось, что под мат. ожиданием ты понимаешь хз что, вот это и ввело меня в заблуждение
наверное, маза читать весь тред, пржде чем писать?
что именно я понимаю ранее обсуждалось

Nefertyty

> что именно я понимаю ранее обсуждалось чуть выше
это было после поста, на который я сослался
ну если это ты называешь мат. ожиданием, вопросов больше не имею

spiritmc

Уже мне интересно стало, о чём спор.
Dj> найти мат. ожидание сотой степени синуса с точностью 10%
Математически это можно записать как
<sin^{100} x> = ( \int_t^{t+T} sin^{100} x dx ) / T,
где T --- период сотой степени синуса.
Любой период.
Например, 2\pi.
---
"Математик может говорить, что ему хочется,
но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке."
Дж. В. Гиббс

electricbird

>это было после поста, на который я сослался
но до того поста, где ты решил спросить тоже самое ещё раз
>ну если это ты называешь мат. ожиданием, вопросов больше не имею
Ширяев "вероятность", глава 2, параграф 6. определение 1 и замечание 3.
впрочем, от человека не умеющего посчитать простейший интеграл, только демагогии и следует ждать какое там понимание

Xephon

мне кажется, тут уже вопросы казуистики
было бы странным считать среднее значение большим чем любое

electricbird

>мне кажется, тут уже вопросы казуистики
есть немножко, но не я их в эту плоскость переводил ясно было, что именно является задачей.
>было бы странным считать среднее значение большим чем любое
продолжая казуистику: а где прописана тождественность мат.ожидания и среднего значения?
p.s. до сих пор, когда обсуждал эту задачку со знакомыми (среди них были и люди с тервера, двое) никаких недоразумений по поводу того, что 1/2 можно считать ответом, не возникало. соответственно, данная вольность речи вполне допустима , я ведь не работу в ведущий научный журнал пишу. тем более, пояснение было дано

Xephon

среднее значение - интуитивное понятие
а искать ответ, то есть число, в неклассическом понимании мат.ожидания,
без указания рассматриваемого множества - весьма странно

electricbird

>среднее значение - интуитивное понятие
угу. а мат. ожидание - это интеграл Лебега. временами, на вероятностной мере, совпадает с интуитивным понятием о среднем значении
а искать ответ, то есть число, в неклассическом понимании мат.ожидания,
без указания рассматриваемого множества - весьма странно

тот пост не являлся математически строго сформулированной задачей, это было очевидно
в нём вообще не на задаче был акцент
точная формулировка была дана незамедлительно после возникновения вопросов постом

Ksun

Хм
Ну вы тут развели споров О глубинном смысле понятия мат. ожидания %)
Меня волнует немного не то, о чем сейчас почти весь тред..
, можешь сказать о своем способе нахождения приближенного решения этой задачи? Т.е. без применения бета-функции Эйлера? Ну хотя бы в приват

Ksun

Кстати, есть более простое решение нахождения точного (подчеркну, точного) ответа, использующее только лишь интегрирование по частям.
Несложно заметить (исп. интегр-ие по частям что
int^{2*pi}_{0}sin^n(x)dx = n-1)/n)*int^{2*pi}_{0}sin^(n-2x)dx
Получаем рекуррентное соотношение, которое при n=2k дает ответ
2*pi*(n-1)*(n-3)*..*3*1/(n*(n-2)*..*4*2) = 2*pi*(n-1)!/n!.
Осталось теперь получить прближенный ответ...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: