Как понизить порядок диффура если известно его нетривиальное решение?

xuliganstvo

Всем привет!
Есть система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка x'=Ax, где A=A(t) матрица n*n. Известно её нетривиальное решение x_0. Как понизить порядок системы, сведя задачу к виду y'=By, где B=B(t) матрица (n-1)*(n-1)?
Должен быть какой-то стандартный алгоритм - вроде он называется метод Даламбера или как-то так, но что-то не могу его найти . Буду очень благодарен за ссылку или краткое описание необходимых преобразований. Спасибо!

yulial

Первое, что приходит в голову, это стандартная процедура редукции с использованием симметрии линейной системы, x_0(t)*d/dx. Процедура описана, например, в книге П. Олвера "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям". Я подзабыл эту науку, и не готов сейчас сказать, получится ли в результате такой редукции снова линейная система меньшего порядка. Но это будет в точности всё, что можно извлечь из нетривиального решения.
Если это тебе пригодится, можно провести редукцию на основании другой симметрии, связанной с линейностью системы ДУ. Так, система 2x2 редуцируется до одного уравнения Риккати. Генератор (инфинитиземальная образующая) симметрии в этом случае x*d/dx.
Поскольку любая двумерная алгебра Ли разрешима (в данном случае порождённая указанными генераторами возможно понижение порядка на 2 единицы, если правильно выбрать порядок, в котором применяются симметрии. Только линейность после редукции вряд ли сохранится.
Посмотри главу 2.5 в Олвере. Есть ещё книги Овсянникова и Ибрагимова на эту тему.

yulial

В параграфе 12 задачника Филиппова, в п. 2 предисловия, описана подстановка, позволяющая понизить порядок в в линейном однородном уравнении n-го порядка с сохранением линейности, если известно частное решение. Практически то, что тебе нужно.

xuliganstvo

Большое спасибо, как раз то что нужно!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: