Когомологии - помните?

Darja9018

Задачки: найти все когомологии плоскости с 1-2-3 выколотыми точками, сферы S1-2 и тора.

Yur4I

последовательность Майера-Виеториса

LEV16101951

Задачки: найти все когомологии плоскости с 1-2-3 выколотыми точками, сферы S1-2 и тора.
Я бы не стал заморачиваться с выдумыванием одноразовых методов вычисления, а действовал бы описанным ниже способом (все доказательства можно посмотреть в книге Ботта и Ту "Дифференциальные формы в алгебраической топологии").
Более-менее общий способ таков: пусть многообразие M представлено как объединение двух открытых множеств, скажем, U и V.
Можно рассмотреть такие отображение между [math]$\Omega(M \Omega(U \sqcup V \Omega(U \cap V)$[/math]: форма [math]$\omega \in \Omega(M)$[/math] отправляется в форму на [math]$U \sqcup V$[/math], которая на U и V по отдельности совпадает с [math]$\omega$[/math], форма [math]$\tau \in \Omega(U \sqcup V)$[/math], равная [math]$\mu$[/math] на U и [math]$\nu$[/math] на V, отправляется в разность [math]$\mu|_{U \cap V} - \nu|_{U \cap V}$[/math].
Факт: это отображение индуцирует точную последовательность в когомологиях
[math]$ 0 \rightarrow H^0(M) \rightarrow H^0(U \sqcup V) \rightarrow H^0(U \cap V) \rightarrow H^1(M) \rightarrow \dots $[/math].
Применять данный факт надо так: выдумать покрытие U и V с простыми [math]$H^i(U H^i(V)$[/math].
Например, если взять U и V как плоскости с вырезом соответственно по положительной и отрицательной действительной полуоси, то получится
[math]$ 0 \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \rightarrow H^1(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) \rightarrow 0 \rightarrow \dots $[/math].
Значит, [math]$  H^1(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $[/math]; тут надо только учесть, что для когомологий де Рама [math]$ H^0(M) $[/math] равно [math]$\mathbb{R}$[/math] в степени "число компонент связности M".
Для окружности можно воспользоваться тем, что гомотопически это — плоскость без точки.
Для сфер [math]$S^n$[/math] по индукции доказываешь, что [math]$ H^0 = \mathbb{R}, H^1=\dots=H^{n-1}=0, H^n=\mathbb{R} $[/math].
Насчет тора — можно по аналогии, а можно почитать о теореме Кюннета.

BSCurt

Задач же устная в том плане ответ столь образно-наглядно-очевиден, что к нему лень обоснования приводить.
А так самое простое и короткое из формальных обоснований это через клеточные комплексы, ситуацию с 1-2-3 выколотыми точками сначала ретрагировать на букет окружностей, остальные сразу разбить на клетки.

Darja9018

Спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: