Найти функцию, удовлетворяющую условиям

gadzet

Нужно найти 2 варианта функции y, удовлетворяющей следующим четырем условиям:
1. y(0) = 0
2. y(l) = 0
3. y_штрих(l) = 0 (первая производная, сорр за запись
4. y_два_штрих(0) = 0 (вторая производная)
Один вариант - это полином четвертой степени, а какой второй?
Все забыл)

k11122nu

Таких до фига. Например, найденный тобой полином + δ(l/2).

gadzet

Как выяснили, данный вариант не подходит

z731a

второй вариант y=0 :)

gadzet

Ага, спасибо :)
Забыл упомянуть, что он не катит

z731a

ну у тя и память

возьми тогда:
y=0, при x>=0
y=x^2008, при x<0

gadzet

А какую-нить нормальную функцию можно?
ЗЫ: это типа изгибные колебания стержня (не в тему)

NHGKU2

[math]$$y=\sin\frac{2\pi x}{l}$$[/math]

k11122nu

третье условие не выполнено

z731a

дай опредление "нормальной"

y=x^2*(x-l)*sin(pi*x/l)

z731a

кстати, маза)

y=2sin(2*pi*x/l)-sin(4*pi*x/l)

NHGKU2

во, точно )
моя и правда не подходит, написал необдумав

gadzet

Сенкс вам всем :cool:
2Плоп: понадеюсь пока, что вот эти 2 функции нормальные :)
Всем условиям удовлетворяют :) Посмотрю, что дадут другие расчеты :)

z731a

вот кадр) ты б написал сразу все требования - решили бы твою задачу

gadzet

Да ладно уж
ЗЫ: Я сам пока не знаю всех условий

sboris

Это невозможно. У полинома второй степени вторая производная не может равняться 0.

gadzet

Там идет речь про полином четвертой степени и второй вариант функции)

sboris

:) Я думал, есть полином четвёртой степени, а нужен полином второй степени

sboris

Если хочется найти такой полином (любой заданной степени то нужно его записать, потом записать указанные условия, а потом решить систему линейных уравнений.
Для четвёртой получится единственный (с точностью до коэффициента) полином P(x)=2*x^4-3*x^3+x
Легко проверить, что
P(0)=0;
P(1)=0;
P'(1)=0;
P''(0)=0;
Для пятой и больше степени их будет беск. много. (система уравнений получится неопределённой - 4 ур-я и больше 4 неизвестных)

lenmas

Первое, второе и четвертое условие просто означают, что функцию можно продолжить (до второй степени гладкости по крайней мере включительно) 2l-периодически до нечетной функции. Значит, она раскладывается в ряд по sin(n pi x/l). Осталось подбирать коэффициенты у этих синусов, чтобы третье условие также выполнилось. Правда, как из такого способа получить указанный полином четвертой степени, не знаю :grin:
P.S. Че-то я нюх потерял: на самом деле функция с условиями 1, 3, 4 продолжается только до 4l-периодической нечетной функции, которая еще симметрична относительно прямой x=l. А такие раскладываются по sin(pi(2k+1)x/2l). То-есть останется только второе условие удовлетворить:
[math]  $$  \sum_{k=0}^\infty c_k(-1)^k=0,\text{ где }y(x)=\sum_{k=0}^\infty c_k\sin\Bigl(\frac{\pi(2k+1)x}{2l}\Bigr).  $$  [/math]

gadzet

Сенкс вам)
Пока вроде все ок)
Посмотрим, что дальше будет)

seregaohota

У твоей P вторая производная в 0 равна -6, т.к. полином сам себе ряд Тейлора (Маклорена а у тебя там коэффициент при x^2 не 0.
Твоё замечание "с точностью до константы" переформулируется как дополнительное условие [math]$p'(0)=1$[/math], тогда разложение в ряд в нуле [math]$p(x)=0 + x + 0\cdot x^2 + \dots$[/math].
У функции p корень 0 (кратности 1 или 3 и выше) и 1 (кратности 2 или выше значит [math]$p(x)=x\cdot(1-x)^2\cdot(q_0+q_1 x + \dots)$[/math]. Раскрывая скобки приравнивая 0 коэффициент у P(x) при x^2 найдём [math]$p(x)=x\cdot(1-x)^2\cdot(1+2 x + \dots) = x-3x^3+2x^4$[/math] (вместо многоточия можно поставить любые члены более высокого порядка малости, 1+2x можно оставить или опустить).

sboris

Да, ошибся на единичку со степенями: вместо 2*x^4-3*x^3 написал 2*x^3-3*x^2. Спасибо за замечание, исправил.
Твоё рассуждение понял плохо, но что ответ такой же - это хорошо.

seregaohota

Если полином равен нулю в точке [math]$a$[/math] т.е. [math]$p(a)=0$[/math], то он делится нацело на [math]$x-a$[/math] (его можно представить в виде [math]$p(x)= (x-a)\cdot q(x)$[/math]).
Если полином и его производная равны нулю в точке [math]$a$[/math] т.е. [math]$p(a)=p'(a)=0$[/math], то он делится нацело на [math]$(x-a)^2$[/math] (его можно представить в виде [math]$p(x)= (x-a)^2\cdot q(x)$[/math]) и т.д.
То же верно для гладких функций.
Значит из условий [math]$p(0)=0$, $p(1)=p'(1)=0$[/math] получаем [math]$p(x)=x\cdot(1-x)^2\cdot q(x)=(x-2x^2+x^3)\cdot q(x)$[/math]. Из условия [math]$p''(0)=0$[/math] получаем [math]$-4q(0)+2q'(0)=0$[/math] или положив [math]$q(0)=c$[/math] получим [math]$q'(0)=2c$[/math], окончательно [math]$q(x)=c(1 + 2x) + x^2\cdot r(x\quad \forall c\in\mathbb R, \;\forall r(x)$[/math].
Окончательный ответ
[math]$p(x)= c (x -3x^3 + 2x^4) + (x^3-2x^4+x^5)\cdot r(x\quad \forall c\in\mathbb R, \;\forall r(x)$[/math]

sboris

Понял.
Здорово! Получился общий ответ :)

491593

Здорово! Получился общий ответ
Единственное, что омрачает радость - ценность задачи ( найти все многочлены с этим свойством) крайне сомнительна.

seregaohota

Да пофиг. Задача простая, дольше текст набирать. Сомнительность задачи сомнительна. :) Когда строишь контр/тестовый пример в чмах именно эта задача всегда и вылезает.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: