Диффузия в гильбертовом пространстве

tester1

Ребят, изучаю уравнение диффузии в случае, когда пространственная координата не из [math]$\mathbb{R}^3,$[/math] а из сепарабельного вещественного бесконечномерного гильбертова пространства. Группа моего научрука использует придуманный им метод решения задач Коши для широкого класса эволюционных уравнений, мне вот это уравнение досталось в разработку. В общем-то я даже успешно разработал.
Вопросы.
1. В литературе такие уравнения где освещаются?
2. В физике оно надо?
3. Знает ли кто-то, как вывести такое уравнение подобно тому, как оно выводится в конечномерном случае?
Апдейт - добавил формул.
Если что, само уравнение выглядит так: [math]$$\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=g(x)\mathrm{tr}\left[A\frac{\partial^2}{\partial x \partial x}u(t,x)\right].$$[/math]
Я умею для такого уравнения решать задачу Коши с начальным условием [math]$u(0,x)=u_0(x)$[/math]
Здесь:
u - функция [math]$u\colon [0,+\infty)\times H\to\mathbb{R}$[/math], т.е. зависящее от времени вещественное поле на вещественном сепрабельном гильбертовом пространстве H (например, на вещественном [math]$\ell_2$[/math] или [math]$L_2[0,1]$[/math]).
tr - след
A - диагональная вещественная матрица без нулей на диагонали, обладающая конечным следом (т.е. ряд из диагональных элементов сходится). В операторной терминологии - ядерный самосопряжённый положительный оператор.
 [math]$\frac{\partial^2}{\partial x \partial x}u(t,x)$[/math] - бесконечная вправо и вниз числовая матрица вторых производных, бесконечномерный аналог гессиана. В операторной терминологии - просто ограниченный оператор. Элементы этой матрицы ограничены в совокупности, поэтому след матрицы [math]$A\frac{\partial^2}{\partial x \partial x}u(t,x)$[/math] конечен. В операторной терминологии - композиция ядерного оператора с ограниченным есть ядерный оператор.
g - числовая функция на Н
u_0 - числовая функция на Н

tester1

просмотров, ни одного ответа. Гордо игнорите, что ли? :confused:

lenmas

Гордо игнорите, что ли?
Да просто никто не знает. Откуда тут специалисты по приложениям функана?

BSCurt

80 просмотров, ни одного ответа. Гордо игнорите, что ли?
Сейчас ещё больше просмотров набежит. Очевидно, что люди открывают тему, читают, видят, что им нечего сказать и молча уходят.

tester1

Я затем и написал хоть что-то, надеялся приманить народ на обсуждение :)

tester1

Откуда тут специалисты по приложениям функана?
Откуда тут вообще специалисты? Из МГУ, вестимо! :D

demiurg

Что значит "вывести"?

tester1

Ну значит описать некоторый (возможно, не существующий, но интересный) физический процесс и затем доказать, что он описывается таким уравнением. Сейчас само уравнение напишу.

wendy8

М-мм... я, может быть, туплю, но, может быть, какое-нибудь эволюционное уравнение плотности вероятности какого-нибудь бесконечномерного объекта? Таких, на удивление, много. Только плотность надо брать по какой-нибудь адекватной для приложения мере.
Ну или что-нибудь типа формулы Фейнмана-Каца для бесконечномерного случая, там тоже похожее может получиться.
Ну т.е. я могу придумать приложение в финансах: стохастическим диффуром в гильбертовом пр-ве описывается динамика некоей кривой (кривой доходности) - и нам интересно этот диффур порешать. Я типа диссер по этому писал. Правда, вариант перехода к УрЧП я отложил на потом и, естественно, он до сих пор там лежит ;-). Так что, может, там и другие уравнения получаются. Тогда, видимо, больше ничем не помогу.

BSCurt

я могу придумать приложение в финансах: стохастическим диффуром в гильбертовом пр-ве описывается динамика некоей кривой (кривой доходности)
Возникает вопрос: а зачем(откуда) в этой задаче гильбертово пространство?

wendy8

Кривая, как элемент гильбертова пространства (например, пр-ва Соболева является фазовой переменной стохастической динамики.

tester1

Спасибо за отклик. Более конкретно, наверное, лучше при встрече говорить?

tester1

Слова "диффузия кривой" я уже слышал. Может кто-то объяснить, как физически определить диффузию кривой? Что это за процесс?
И как получить для него уравнение моего типа?

BSCurt

Кривая, как элемент гильбертова пространства (например, пр-ва Соболева является фазовой переменной стохастической динамики.
Я не догоняю что там играет роль времени в уравнение диффузии, если сами кривые - это графики зависимости доходности от времени?

Vlad128

мне вот фантазия подсказывает, что эти кривые могут быть оценками какой-нибудь функции исходя из имеющихся данных, эти оценки эволюционируют во времени. Например, так.

tester1

Ребят, что же такое диффузия кривой?

wendy8

Но эти графики разные сегодня, завтра и послезавтра. Вот эта эволюция описывается СДУ.

demiurg

Я не догоняю что там играет роль времени в уравнение диффузии, если сами кривые - это графики зависимости доходности от времени?
Скорее, что там играет роль пространства. А роль времени играет время.
Так можно и на саму диффузию посмотреть: у меня есть распределение плотности в пространстве, и оно эволюционирует во времени до равновесного. Но это непохоже на гонобобелевские уравнения, они у него бесконечномерны.

lenmas

Скорее, что там играет роль пространства. А роль времени играет время.
Так можно и на саму диффузию посмотреть: у меня есть распределение плотности в пространстве, и оно эволюционирует во времени до равновесного. Но это непохоже на гонобобелевские уравнения, они у него бесконечномерны.
Ну, броуновское движение тоже с одной стороны кривая, с другой стороны в каждый момент времени случайная
величина, то-есть элемент бесконечномерного пространства. Только у него А не ядерный, а просто единичный.

lenmas

Ребят, что же такое диффузия кривой?
Гоно, задолбал ты уже клянчить, спроси прямым текстом Евгения Тенгизовича, он точно знает все по этой теме :mad:

tester1

Начнётся семестр - спрошу. В данный же момент спрашиваю форумчан. Один человек - одно мнение, много людей - много мнений. Мне хочется понять ту физику, которая может стоять за изучаемым мной уравнением, а для этого как раз имхо необходимы разные точки зрения.
Кроме того, Е.Т. такой умный, что я понимаю далеко не всё из того, что он говорит. Далеко не всё.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: