Задачки по комп. алгебре (чем срочнее, тем лучше!!!)

ArtemisXIII

За вознаграждение, какое захотите
1) При каких целых a уравнение x*x*x = a имеет решение в кольце целых 7-аддических чисел?
2) Идеал I в K[x,y,z] задан образующими f1 = xy - z, f2 = x*x*x - y
Упорядочение degrevlex (по степени, затем обратное лексикографическое). Найти базис Гребнера x > y > z
3) Разложить на свободные от квадратов множители многочлен x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 в F 2 [x] (кольцо из двух элементов)
4) Поднять сравнение x^3 + 7x + 6 = (x-1x^2 + x + 1) mod 7 до сравнения по модулю 7^3

griz_a

АУ! Я правильно понял, что надо в 4) задаче разложить наш многочлен по модулю 7^3?
Кто-нить знает?

Thanhsoa

скорее всего да

stm7537641

задача 1):
Если x^3=a разрешимо в поле 7-адических чисел Z_7, то его редукция по модулю 7 разрешима по модулю 7. Значит a=0, 1 или 6 mod7, причем x^3-1=(x-1x-2x-4)mod7, x^3-6=(x-3x-5x-6)mod7. Однако любой простой нуль редуцированного по модулю p полинома f поднимается до нуля полинома f с коэффициентами из Z_p (кольцо целых p-адических чисел) (см. например стр.29 "Курса Арифметики" Серра -- это доказывается с помощью p-адического аналога метода касательных Ньютона). Значит, данное условие является не только необходимым, но и достаточным.

stm7537641

В 3)-й задаче не вполне понял условие -- разложение на простые множители в евклидовом кольце F_2[x] однозначно. Разложение на простые множители: x^6+x^5+x^4+x^2+x+1=(x+1)^4(x^2+x+1). Многочлен x^2+x+1, очевидно, неприводим над F_2 (его корень порождает F_4).
P.S.: В 4)-й и впрямь непонятное условие

griz_a

По-моему уже не надо.....

roman1606

в 4) видимо, надо просто знать, что такое поднятие сравнения по Гензелю, тогда всё понятно

roman1606

эти многочлены надо рассматривать как с коэффициентами из Z.
поднятие сравнения, вкратце, это переход от
f=f1*f2(mod p^m) к
f=g1*g2(mod p^(m+1 где f_i=g_i(mod p^m deg(g_i)=deg(f_i) ну и еще с нек. подробностями.
то есть это не
фактически там сравнение 0=0mod7 -- чем не нравится его "поднятие" 0=0 в кольце 7-адических чисел?

ArtemisXIII

Большое спасибо, уже вроде как решили...

stm7537641

Ну у меня был немножко и спортивный интерес
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: