Интеграл по плоскости в символах

tester1

 [math][res=300] $\int\limits_{\mathbb{R}^2}x_1e^{x_2 -\frac{1}{2}(Bx,x)}dx$[/math]
здесь:
x = пара координат [math]$x_1,x_2$[/math]
B = положительно определенная матрица 2x2
( , ) = скалярное произведение
или подскажите где подсчитать в Инете
Спасибо!

mtk79

а в чем проблема? Зачем считать в инете, если нужно на бумажке?

naami_moloko

Допилишь сам, если ввёл что не так.

tester1

Спасибо! Всех благ тебе :)

tester1

только у тебя интеграл неопределенный походу, а мне надо определенный

mtk79

Бог матана за это по головке не погладит!
Хотя нет, погладит... уже гладит!... ОГО!

naami_moloko

 
только у тебя интеграл неопределенный походу, а мне надо определенный
Да, там ещё вроде только по x интеграл, ну говорю же, допилишь ввод сам, заодно познакомишься с WolframAlpha.

tester1

Computation timed out
:(

tester1

Задача не решена :(

Sergey79

Я правда задачу совсем не понял. Ну вот Мапл
int(x*exp(y+b11*x^2+b22*y^2+b12*x*y[x=-infinity..infinity,y=-infinity..infinity]);  

[math]$2\,{{\rm e}^{-{\frac {{\it b11}}{4\,{\it b22}\,{\it b11}-{{\it b12}}^{  2}}}}}{\it b12} \left( 4\,{\it b22}\,{\it b11}-{{\it b12}}^{2}   \right) ^{-1}{\frac {1}{\sqrt {-{\frac {4\,{\it b22}\,{\it b11}-{{  \it b12}}^{2}}{{\it b11}}}}}}  $[/math]
если [math]$-{\it csgn} \left( {\it b22}-1/4\,{\frac {{{\it b12}}^{2}}{{\it b11}}}   \right) =1, \quad -{\it csgn} \left( {\it b11} \right) =1   $[/math]
иначе бесконечность

Sergey79

я там поленился, убрал какие-то матрицы, знаки, коэффициенты лишние.

tester1

спасибо!
csgn - это что?

tester1

можешь результат вычисления такой строки показать? я добавил коэффициенты, чтоб было как в первом посте
int(x*exp(y-(b11*x^2+b22*y^2+2*b12*x*y)/2[x=-infinity..infinity,y=-infinity..infinity]);

mtk79

это критерий Сильвестра Сталлоне !

Sergey79

int(x*exp(y-(b11*x^2+b22*y^2+2*b12*x*y)/2[x=-infinity..infinity,y=-infinity..infinity]);
PIECEWISE([PIECEWISE([-2*exp(1/2*b11/(b11*b22-b12^2*b12/(b11*b22-b12^2)/b11*b22-b12^2)/b11)^(1/2)/b11^(1/2)*Pi, csgn(1/2*b22-1/2/b11*b12^2) = 1],[infinity, otherwise] csgn(b11) = 1],[infinity, otherwise])
Содержательная часть:
 [math]$-2\,{{\rm e}^{1/2\,{\frac {{\it b11}}{{\it b11}\,{\it b22}-{{\it b12}}  ^{2}}}}}{\it b12}\,\pi  \left( {\it b11}\,{\it b22}-{{\it b12}}^{2}   \right) ^{-1}{\frac {1}{\sqrt {{\frac {{\it b11}\,{\it b22}-{{\it b12  }}^{2}}{{\it b11}}}}}}{\frac {1}{\sqrt {{\it b11}}}}$[/math]
Иначе бесконечности, если экспонента не убывающая, а растущая по x или по y, что определяется знаками (csgn) соотв. параметров
PS предыдущий ответ был не верный - при копировании кусочек отколося :grin:

tester1

Спасибо!
Странно, кстати, почему [math]$\sqrt{b11}$[/math] в конце формулы не сокращается, и почему два сомножителя (детерминант матрицы): в минус первой степени и в минус половинной. Можно просто самому привести в более простой вид или я чего-то не понимаю?

Sergey79

Мэпл не любит проводить тайные сокращения, предпочитая, чтобы пользователь делал все это на свой страх и риск.

Sergey79

Можно просто самому привести в более простой вид или я чего-то не понимаю?
Если честно, не понятно зачем понадобилась помощь зала для интегрирования экспоненты :grin:

tester1

мэпла нет, а ручками есть большой шанс ошибиться

griz_a

Это же с точностью до константы типа [math]$2\pi/ (det{B})^{1/2}$[/math] есть [math]$EX_1 e^{X_2}$[/math], где [math]$X_1, X_2$[/math] - нормальные величины с матрицей ковариации B^{-1} и нулевым средним.
Чтобы посчитать такую штуку, можно представить [math]$(X_1, X_2)$[/math] в виде [math]$C(Y_1,Y_2)$[/math], где [math]$C C^t = B^{-1}$[/math], а [math]$Y_1,Y_2$[/math] - н.о.р нормальные (0,1).
Тогда [math] $ EX_1 e^{X_2} = E(c_{1,1} Y_1 + c_{1,2} Y_2) e^{c_{2,1} Y_1} e^{c_{2,2} Y_2}) = c_{1,1} E(Y_1 e^{c_{2,1} Y_1})\cdot E(e^{c_{2,2} Y_2})+c_{1,2} E(Y_2 e^{c_{2,2} Y_2})\cdot E(e^{c_{2,1} Y_1})=c_{1,1} R'(c_{2,1})R(c_{2,2})+с_{2,2} R'(c_{2,2})R(c_{2,1}$[/math] где
[math]$ R(h) = Ee^{X_1 h} = e^{h^2/2}$[/math] - преобразование Лапласа.

tester1

Не понял середину твоего метода вычисления. Мне нужен только ответ. Ответ совпадает?

Vlad128

Мне нужен только ответ.
Опять попытки использовать форум как калькулятор :(

tester1

Разве это плохо? Кто может помочь - хорошо, спасибо тому.

Vlad128

а чего хорошего? скукота. интересный метод подсчета предложил, постарался расписал, а ты "мне ответ". Имхо, зарабатываешь авторитет халявщика.

tester1

я ж не против интересного метода, просто переспросил, совпадает ли ответ, если считать интересным методом
мне в работе реально только ответ нужен. был бы мэпл установлен, не напрягал бы форумчан

Vlad128

причем тут мэпл? Разобрался бы в решении , почему он должен за тебя проверять ответ? Или если у меня нету Maple, то за меня другие должны решать задачи? Не вижу логики.

griz_a

Плохо получилось у меня, она ж не должна быть симметрична по условию :(
У мапловедов в треде тоже, кстати, симметричность откуда-то

Sergey79

она
кто?

mtk79

у мапловедов получилось $b_12$, что никак не симметричность
upd: b_12 получилось, ибо симметричность изначально заложилась в код мапла (хотя в задаче не предполагалась).

tester1

симметричность матрицы есть

Vlad128

ну симметричность матрицы же легко делается через B1 = (B + B')/2, в чем проблема-то?

tester1

Или если у меня нету Maple, то за меня другие должны решать задачи? Не вижу логики.
нормальная просьба о взаимовыручке
не хочешь - не помогай
готов помочь - спасибо

Vlad128

не хочешь - не помогай
готов помочь - спасибо
ну это ты просто констатировал факт, это ни о чем не говорит, это всегда так, речь-то не об этом.

lenmas

ну симметричность матрицы же легко делается через B1 = (B + B')/2, в чем проблема-то?
+1. В выражение (Bx,x) дает вклад только симметричная часть матрицы B, то-есть B^{sym}=1/2(B+B*).

Sergey79

я не знаю о чем вы говорите, о какой-то симметричности...
если я вижу три множителя: x^2, y^2 и xy, то я их линейную комбинацию могу запараметризовать не более чем 3 параметрами. А уж как эти праметры выражаются через компоненты матрицы B, то мне не интересно было для ответа. И осталось на совести Ивана!, который что-то там выражал.

lenmas

я не знаю о чем вы говорите, о какой-то симметричности...
если я вижу три множителя: x^2, y^2 и xy, то я их линейную комбинацию могу запараметризовать не более чем 3 параметрами. А уж как эти праметры выражаются через компоненты матрицы B, то мне не интересно было для ответа. И осталось на совести Ивана!, который что-то там выражал.
Да ладно, расслабься и получай удовольствие! :)

griz_a

Ага, я уже тоже допетрил через некоторое время, что это я погорячился :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: