Счетные метрические пространства без изолированных точек

Irina_Afanaseva

правда ли, что счетные метрические пространства без изолированных точек гомеоморфны множеству рациональных чисел (с его обычной метрикой)?

Forsit

Не уверен.
Тогда бы можно было сказать, что мн-ва рациональных точек на плоскости гомеоморфно Q.
Моя задница в это не верит.
Такой гомеоморфизм, вроде продолжается до гомеоморфизма R<->R2.

vodnik2

как продолжить с Q до R не очень-то очевидно...
например отображение x->x, если x<sqrt{2}, x->x+1, если x> sqrt{2}, гомеоморфно отображает Q на образ.
Так что тут все не так просто...

vodnik2

хоть я и не "общий тополог"...
похоже, что-таки верно!
Доказательство:
Лемма. Для любого eps>0 счетное метрическое пространство без изолированных точек можно разбить на открытые бесконечные множества диаметра меньше эпслион.
Идея док-ва леммы: покрываем пространство открытыми счетным набором шаров радиуса меньше эпсилон, на границах которых не лежит ни одной точки (тут фишка в том, что множество радиусов континуально, а множество точек счетно, поэтому "шевеля радиусы" можно добиться, чтобы на границе точек не оказалось а затем их n-го шара выкидываем точки предыдущих (n-1)-го шара. Пустые множества выкидываем, а если вдруг какие-то множества оказались конечыми, то их точки прилепляем "куда-нибудь". Лемма доказана
Теперь само док-во. Разбиваем на множества диаметра меньше 1. Для простоты предполагаем, что их получилось бесконечное число. n-му множеству ставим в соответствие Q, пересеченное с интервалом (n+sqrt{2},n+1+sqrt{2}). Далее, на k-м шаге каждое из полученных множеств разбиваем на множества диаметра меньше 1/k и очередной поставленный в соответствие уинтервал разбиваем на конечное или счетное число интервалов c иррациональными концами, пересеченных с Q и т.д. Надо еще позаботиться, чтобы непустым пересечениям цепочки вложенных подмножеств в метрическом пространстве соответствовало непустое пересечение вложенных полуинтервалов в Q, но кажется, что это можно сделать. Все.

vodnik2

а может все и не так просто...
что-то мне начинает казаться, что (0,1) не гомеоморфен [0,1).
В общем, если они не гомеоморфны, но это контрпример, если же гомеоморфны, то конструкция этого гомомеорфизма должна пролить свет на то, как в моем доказательстве заботится о соответствии непустоты пересечений вложенных открытых множеств

aqvamen

э... в лемме подразумевается счётность мн. разбиения?

vodnik2

если немного подумаешь, то ты, вероятно, сам сможешь ответить на свой вопрос. если не получится, то подумай еще, учтя, что все пространство счетно.

vodnik2

а) доказательства можно "довести до ума" примерно следующим способом - 1) нужно точки пространства занумеровать натуральными числами, 2) при построении разбиения открытых множеств на более мелкие сделать следующее - нужно выбрать в разбиваемом открытом множестве точки, отображение в которых еще не определено, с наименьшими номерами и отобразить их в "еще не использованные " рациональные числа с наибольшими знаменателями из интервала, и при разбиении озаботиться тем, чтобы нужные точки пространства попадали в "правильные" элементы разбиения. Таким образом, мы исчерпаем все пространство и все рациональные числа.
б) гомеоморфизмы Q, пересеченного с [0,1) и с (0,1 строится явно - разбиваем [0,1)\cap Q иррациональыми точками на счетное множество накапливающихся к нылю интервалов плюс точка 0, а затем эти интервалы выкладываем "то справа, то слева" вокруг какой-либо рациональной точки из интервала (0,1 в которую отправим ноль (и пользуемся еще тем, что все интервалы вида Q\cap(a,b) при a<b гомеоморфны).
в) раз это так просто доказывается, то наверняка этот факт о счетных пространствах должен быть в каком-нибудь классическом учебнике по общей топологии - пусть "общие топологи" скажут в каком

aqvamen

лол. это был намёк. если ты немного подумаешь, то поймёшь с каким простым фактом, доказываемым в уйме известных учебников, вступает в противоречие твоё "док-во"

vodnik2

кидание пальцев типа "смотри известные учебники" не принимаются (особенно от Корвина). Давай либо приводи этот факт, либо указывай дыру в эскизе доказательства (что занятие неблагодарное, ибо это лишь эскиз а еще лучше приводи конкретный контрпример двух негомеоморфных счетных метрических пространств (с доказательством, что они негомеоморфны).
Вам замечание (+). Без флейма пожалуйста или переходите на приваты

aqvamen

твои проблемы. доказывать тебе что-либо занятие совершенно неблагодарное...
Вам замечание (+). Без флейма пожалуйста или переходите на приваты

ada591

Теорема1: Любое проcтранство мощности меньше континуума нульмерно.
Теорема2: Любое счетное постранство топологически ( считай гомеоморфно содержится) в множестве рациональных чисел.
Эти две цитаты из "Топологии" Куратовского том 1 стр 296 раздел метрические пространства тебе помогут.

Irina_Afanaseva

Спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: