Сингулярное разложение квадратной матрицы

WALERA32

если А - квадратная матрица и svd(A) = U*S*V, то А^2 = U*S^2*V?

seregaohota

Если A=U*S*V и U и V ортогональны и взаимно обратны: V*U=E (единичная матрица а это по-видимому так , то
A^2 = U*S*V * U*S*V = U*S*E*S*V = U*S^2*V
Более того, это верно для любой (аналитической?) функции
f(A) = U*f(S)*V
Проверяется с помощью рядов по степеням A. Эти ряды Тейлора (Лорана если они сходятся на спектре A берутся, за определение f(A) насколько помню.

WALERA32

V*U=E
это так для симметричной матрицы А, а в общем случае нет. Мне кажется, я в какой-то книжке видел,что A^k = U*S^k*V, а теперь не могу её найти. Показалось наверное. вот отстой

WALERA32

мне вообще надо доказать, что для x_k = A^k y, cos(x_k+1, x_k) стремится к 1 при к стремящемся к бесконечности. А не ортогональная. Если это так, это должен быть известный факт наверное.

seregaohota

это так для симметричной матрицы А, а в общем случае нет. Мне кажется, я в какой-то книжке видел,что A^k = U*S^k*V, а теперь не могу её найти. Показалось наверное. вот отстой
В одной книге Рудина по математическому анализу что-то было, и для несимметричных тоже вроде. У меня под рукой сейчас нет ничего.

seregaohota

мне вообще надо доказать, что для x_k = A^k y, cos(x_k+1, x_k) стремится к 1 при к стремящемся к бесконечности.
Я так понял это cos(x_{k+1}, x_k)? и x_{k+1}, x_k это скалярное произведение?
У тебя A диагонализуема? Ну или переходишь к жордановой нормальной форме, к базису из собственных (и присоединённых если они есть) векторов. Дальше разлагаем y по этому базису. Представим себе, что всё уже сделано, и A имеет в заданных осях диагональную форму ну и ещё в жордановых клетках 1 над диагональю (или вроде бывет выбирают представление под диагональю). Собственные числа упорядочены по убыванию модулей |\lambda_1| > |\lambda_2| >...
Играть роль будет очевидно его первая координата, соответствующая максимальному |\lambda| (ну или какая там первая ненулевая координата y). e_1 единичный вектор вдоль первой оси (соответсвует \lambda_1)
A^k y = \lambda_1^k y_1 e_1 + o(...)
Остальное будет мелочи то есть о-маленькое, это доказывается вынесением из общего представления \lambda_1 за скобку. Так как ты каждый раз умножаешь на A и тебе важен только угол между векторами, то можно вообще нормировать вектора - все координаты, кроме соответсвующей максимальному по модулю lambda (для которого соответсвующая координата y была не нулевой) устремятся к нулю.
Ну и посмотри, что там происходит для жордановых клеток, если они есть. Возьми 2 на 2 для простоты. Могут ли быть у тебя разные варианты? Например нильпотентная матрица A 2 на 2 и \lambda=0:
0 1
0 0
Всё просто вроде получается. Доводить до ответа мне влом.

seregaohota

Если это ещё актуально, то есть ли там комплексные собств. числа, а то повороты будут.

WALERA32

вообще матрица А это матрица Фробениуса (как транспонированные диагональные клетки у первой естественной нормальной формы но толку от этой информации 0, разве что она точно не ортогональная. так что я доказываю для любой матрицы А из Rn. Я перехожу к базису в котором у неё жорданова форма, раскладываю клетки на сумму диагональной и нильпотентной и возвожу в степень k. Если вынести максимальное сз то всё равно остаётся одна мерзкая клетка, зависящая от С_k^t, t<<k.

WALERA32

ага. Я нашёл пару статей с общим видом их жордановой формы, но пользы от этого никакой. Я думаю, что любая квадратная неортогональная матрица обладает таким свойством.

seregaohota

Вообще для жордановой клетки С_k(L у которой на главной диагонали L (lambda долго писать на первой наддиагонали 1, а остальные 0, для возведения в степень n есть формулы, можно в Гантмахере или ещё где посмотреть или по индукции проверить.
Вроде не путаю - на диагонали у C_k(L)^n будет L^n, на 1-ой наддиагонали n*L^{n-1}, на 2-й: n*(n-1)/2! L^{n-2} и т.д. Под диагональю нули. Самая высокая степень n умноженная на L^{n-k+1} в самом правом верхнем углу.
Зря ты говоришь Фробениус ничего не даёт тк L не нуль, если бы было совств.знач.=0, то у твоей матрицы Фробениуса определитель бы был равен нулю, а у неё как её не определяй 1 на диагонали и под(над) диагональю все нули, значит определитель = 1. Произведение всех L будет для неё 1 кстати, тк определитель матрицы это свободный член характеристического уравнения.
Так вот, если ты действуешь C_k(L)^n на пробный вектор x, у которого ненулевая координата x_k, то для тебя только её неравенство нулю и станет постепенно играть в твоём косинусе скалярного произведения существенную роль при n стремящемся к бесконечности. Если у тебя x_k=0, то все рассуждения в силе остаются, только надо размер жордановой клетки k как бы снизить до последнеё по порядку ненулевой координаты.
Т.к. тебе всё равно на что делить твой вектор C_k(L)^n x для скалярного произведения, то подели на коэффициент в самом углу матрицы C_k(L)^n, он не равен 0 тк L не 0 - увидишь при n стремящемся к бесконечности, что все координаты C_k(L)^n x кроме первой стремятся к 0, а в первой координате всё будет стремиться к 0 кроме последнего слагаемого. Короче первую координату можешь считать = 1.
Если у тебя две жордановы клетки одинакового размера соответсвуют совпадающим L (ну или одна клетка размера 2 а вторая 3, но ей сответсвующие только первые 2 координаты пробного вектора ненулевые то просто у тебя будет играть существенную роль двумерное собственное подпространство соответсвующее L, но все рассуждения остаются в силе.
В общем, если все L действительны, то для любого вектора x получим cos(A^k x, A^{k+1} x)=0.
Вектора A^k x , A^{k+1} x в пределе либо направлены параллельно, либо в противоположные стороны, в зависимости от того, каков знак у того max|L| которому соответсвуют ненулевые координаты в x в собственном базисе.
Для комплексных L при действительной матрице A это не так вообще говоря. Достаточно взять в качестве контрпримера двумерную матрицу A поворота на угол \phi. Твой
cos(A^k x, A^{k+1} x)=\phi для любого ненулевого вектора x.
Вроде так. Аминь, т.е. конец доказательства

seregaohota

Вроде да, может через это представление проще будет.

vovatroff


это так для симметричной матрицы А, а в общем случае нет. Мне кажется, я в какой-то книжке видел,что A^k = U*S^k*V, а теперь не могу её найти. Показалось наверное. вот отстой
В одной книге Рудина по математическому анализу что-то было, и для несимметричных тоже вроде. У меня под рукой сейчас нет ничего.
Я спросил при случае у одного очень авторитетного для меня человека, можно ли так написать для сингулярного разложения, как вы хотите, т.е. будут ли сингулярные числа квадрата неэрмитовой (и вообще - не нормальной) матрицы квадратами сингулярных чисел исходной матрицы. Он ответил, что нет, что можно получит лишь какие-то оценки для этих сингулярных чисел, и посоветовал глянуть Гантмахера "Теорию матриц" насчет подробностей.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: