Натуральное уравнение кривой

wolf-cub

Как восстановить натуральное уравнение кривой зная произвольную параметризацию (диффгем)?
Чтоб не копаться в теории, можете объяснить, например, с примером r(t)=(cos^3(t sin^3(t или параболой y=x^2?

Sanych

Из определения непосредственно следует, что натуральный параметр есть интеграл от |r'| по t.
Для (cos^3 t,sin^3 t) это будет интеграл от -3cos^2 sin)^2+(3sin^2 cos)^2)^(1/2
то есть интеграл (3 |sin*cos| то есть натуральный параметр есть что-то похожее на 3/2 sin^2 t, и далее через него все можно выразить. Осталось понять, от какой точки кривой мы интегрируем и как при этом будут меняться знаки выражения под модулем и как точно будут выглядеть формулы. Для параболы все примерно также, и там вроде даже возиться со знаками не придется, если взять параметризацию по x.
PS. А я, вероятно, спутал натуральное уравнение и натуральную параметризацию . Но ничего... без натуральной параметризации все равно толком не посчитать его.

wolf-cub

Я немножко догнал: для нормальных, не извращенных кривых надо найти сначала кривизну, а потом натуральный параметр, оба будут функциями от t(или x, без разницы а потом повыражать одну через другую. Изврат, но есть результат
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: