Соответствие функций и рядов

Pelikan

Можно ли по произвольному формальному ряду, построить функцию такую, что этот ряд будет ее рядом Тейлора?

natunchik

эээ. Да! С любой наперед заданной точностью =) Просуммировав ряд до какого-нить члена.
Или что ты имеешь в виду под словом "построить"?

CHICAGO

нет

Pelikan

Дан ряд. \sum_i=0^\infty a_n*x^n
Хотим найти функцию f(x) такую, что f^{(k)}(0)=a_k k=1..\infty

Pelikan

Я думаю, что да.

natunchik

Сумма ряда. f(x) = \sum_i=0^\infty a_n*x^n
Или объясни, что такое f(x). Произвольная вычислимая функция?

NHGKU2

на интервале (-R,R где 1/R=limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} - конечно можно.

Pelikan

Ряд может рассходится, или сходится к одной функции, а быть рядом Тейлора для другой

Pelikan

Так не честно

Pelikan

Я есть степенной ряд, сходящийся только в нуле?

CHICAGO

конечно, есть!

electricbird

не может быть

Pelikan

А ну да...
\sum_{n=0}^\infty exp(n)*x^n

Sanych

Можно построить бесконечно гладкую. Вообще говоря нельзя построить вещественно-аналитическую, так как сумма ряда может нигде не существовать.
Построение бесконечно гладкой происходит через \sum x^nf_n(x
где f_n бесконечное гладкие и с носителем стремящимся к 0. При необходимости, могу вспомнить как конкретно это делается. Если я правильно помню, суть в том, что f_n(x)=a_n f(b_n x и достаточно быстро растущее b_n подходит. f должна быть с компактным носителем, бесконечно гладкая, желательно с не слишком быстро растущими производными, и f(0) не есть 0.
[added] Извиняюсь, если невольно помешал живой и познавательной дискуссии

Pelikan

При необходимости, могу вспомнить как конкретно это делается.

Желательно

Sanych

Берем функцию f, равную exp(1-1/(1-x^2 на отрезке [-1,1].
Вне отрезка она бесконечно гладко продолжается нулем.
Далее, если заданы производные c_n, то суммируем ряд
\sum d_n x^n/n! f_n =: \sum s_n,
где f_n(x)=f(a_nx)
d_0 просто выбираем равным c_0
Далее, так как старшие производные f(x) не обязательно ноль, у нас будут возникать поправки.
А именно, d_k=c_k- d^k S_{k-1}/dx^k
Это значит, что мы k-е слагаемое подбираем из равенства k-й производной от всей суммы числу c_k, с учетом того, что все последующие слагаемые дадут нулевой вклад. А значит для
S_k=s_k+S_{k-1} это равенство уже верно, и видим, что это и есть наша формула.
a_n выбираем из условия, что все производные порядка ниже n от c_n'x^nf_n(x) меньше, чем 1 по модулю.
Действительно, c_nx^nf_n(x)=c_n/a^n y^nf(y)|y=ax.
производная по x порядка k от c_nx^nf_n(x) таким образом будет пропорциональна a^{n-k} (производная по y не зависит от a, а при переходе к x оно вынесется k раз).
Значит, выбором достаточно большого a_n=a можно добиться упоминавшегося неравенства |F''''''|<1
Таким образом, для нашего ряда с таким образом выбранными a_n
для k-й производной выполнено |s_n^{(k)}|<1/n! при n>k.
Отсюда ряд из k-х производных абсолютно сходится при любом k, а следовательно ряд сходится, причём к бесконечно дифференцируемой функции. Она имеет нужные производные в нуле по построению, с учетом сходимости.

natunchik

Ряд может рассходится, или сходится к одной функции, а быть рядом Тейлора для другой

Как это? Или я чего-то не понимаю, или ты не о функциях из Ц-бесконечность на данном интервале говоришь?
Ряд тейлора - это частный случай ряда фурье.
Если он к чему-то сходится, то он сходится именно к тому, что в разложении по базисным функциям дает его.

electricbird

>Или я чего-то не понимаю, или
1-е, как обычно

CHICAGO

при некоторых допущениях, вообще-то

natunchik

Ну типа бесконечная дифференцируемость функции нужна. Еще сходимость ряда. Что еще?

CHICAGO

Фихтенгольц?

natunchik

Нет, Fj. =)
Можно пример того, как ряд сходится не к той функции, из которой он получен? Я тогда все пойму, и будет мне щастье...

Togar

f(x)=exp(-x^(-2 при х, отличном от нуля ; f(0)=0. Бесконечно гладкая функция, все производные в нуле равны нулю, можешь проверить.

Togar

А что до рядов Фурье - это объект гильбертова пространства, например L2, поэтому вопрос их сходимости в другом пространстве, например С, - это непростой вопрос. Я вообще точно не помню, излагались ли нам какие-то результаты такого типа для произвольных (не тригонометрических) рядов Фурье, кажется нет.

vital_m

Ты правильно говоришь. Для ряда Фурье общего вида на мех--мате
рассказывают только сходимость в L^2(X) с соответствующим X.

Togar

Ясно. Раз даже на мехмате ничего другого не рассказывают, значит, это действительно сложно. Я окончила ВМК .

CHICAGO

это в первую очередь звисит от лектора по функану. Нам рассказывали больше.

kachokslava

Рассмотреть например такой случай:
exp(-1/x^2)
доопределить в нуле нулём.
Эта функция равна нулю в нуле и все её производные равны нулю в нуле (в смысле имеют там устранимую особенность, как например sin(x)/x можно доопределить в нуле единицей и будет всё гладко..)
И какой тогда ряд тейлора для этой функции в окрестности нуля?
// сорри не обратил внимания, что уже указала этот пример

afony

Будущему модератору нужно быть внимательнее, об этом уже писала.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: