[теория чисел] сущест. неприводимые многочлены? почему?

incwizitor

забыл уже все ;(
почему для любых p - простое и s - натуральное, существует неприводимый многочлен степени s над полем Z_p ?
вопрос вытек из вопроса "почему существуют поля Галуа G(p^s) ?"

goga7152

Кажется, проще доказать в обратном порядке.
Пусть F -- поле разложения многочлена f(x):=x^q-x над Z_p, где q:=p^s. Т.к. f'=-1, f не имеет кратных корней, а его корни -- неподвижные точки автоморфизма φ^s поля F, где φ -- автоморфизм Фробениуса. Понятно, что неподвижные точки любого автоморфизма поля образуют подполе. Значит, множество корней f -- подполе из q элементов в F. Значит, существует поле из q элементов, являющееся расширением Z_p степени s, и поэтому существует неприводимый многочлен степени s над Z_p (минимальный многочлен произвольной образующей мультипликативной группы поля F, которая -- циклическая порядка q-1).

incwizitor

а в прямом порядке сложнее?
просто тут явно выскакивают дополнительные вопросы. и меня завалят
1) что за автоморфизмы Фробениуса
2) почему \phi^s ?
3) почему минимальный мног-н образующей мульт группы (имеющей порядок p^s-1) имеет степень s?

incwizitor

может проще показать, что круговой многочлен степени q-1 является неприводимым в Z_p ?

Sanych

круговой многочлен степени q-1 является неприводимым в Z_p
Ну это, в большинстве случаев, просто неверно... тем более, что это даёт расширение, которое является полем из p^(q-1) элементов.

incwizitor

глючу
то есть формулы нет вот того самого многочлена ?

Sanych

Нет, проще показать, что существует поле характеристики p, в котором многочлен z^q-z разлагается на линейные множители, а потом, что его корни образуют подполе, в котором и будет ровно q элементов (q, естественно, должно быть степенью p).
Собственно, это и предлагалось. Автоморфизм Фробениуса это z->z^p. Применённый s раз, даст z->z^q. А формула... формула была для _количества_ неприводимых многочленов степени s. А для конкретных, чтобы сразу был явный вид я что-то не припоминаю.
А минимальный многочлен образующего мультипликативной группы поля из p^s элементов есть неприводимый степени s над Z_p потому, что если бы эта степень была k, то получилось бы порождённое этим элементом подполе из p^k элементов. Но ведь этот элемент порождает в точности всё поле (даже только его степени дают все элементы, кроме 0-го значит k=s.

goga7152

а в прямом порядке сложнее?
Существует доказательство через дзета-функцию кольца Z_p[x], не использующее ничего кроме однозначности разложения в Z_p[x] (которая очевидна, поскольку кольцо многочленов над полем евклидово) и формулы обращения Мебиуса -- см. например книгу С.А. Степанова "Арифметика алгебраических кривых".

goga7152

А минимальный многочлен образующего мультипликативной группы поля из p^s элементов есть неприводимый степени s над Z_p потому, что если бы эта степень была k, то получилось бы порождённое этим элементом подполе из p^k элементов. Но ведь этот элемент порождает в точности всё поле (даже только его степени дают все элементы, кроме 0-го значит k=s.
Тут наверное еще стоило бы напомнить автору треда, что
1) размерность (="степень") поля разложения неприводимого многочлена степени s равна s (как векторного пространства над основным полем) [! неверно -- см. пост ниже]; и
2) число векторов в векторном пространстве размерности s над Z_p равно p^s.

incwizitor

всем спасибо за помощь.

goga7152

1) размерность (="степень") поля разложения неприводимого многочлена степени s равна s (как векторного пространства над основным полем); и
Пардон, ерунду написал (Контрпример: кубический многочлен, дискриминант которого не является квадратом в основном поле).
В рассматриваемом же случае это действительно так, поскольку мультипликативная группа конечного поля циклическая (и поэтому если неприводимый многочлен имеет корнем ее образующую, то он автоматически раскладывается на линейные множители в поле, порожденном этой образующей).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: