Самая красивая математическая теорема

Waleri58

Нашёл с таким названием.
многое, из того, что упомянуто красиво и по моему мнению.
добавил бы от себя теоремы Гёделя о неполноте и Тарского о невыразимости истины в формальной арифметике с доказательствами-следствиями из арифметической иерархии.
доказательство несуществования универсальной ф-ии для класса всюду определённых вычислимых ф-й 1-й переменной, и как следствие то, что программы для всюду определённых выч ф-ий нельзя перечислить
ещё диагональный метод Кантора и теорема |2^X| > |X|
принцип Дирихле и его обощение для случая счётное - континуальное множество
динамическое программирование
алгоритм Кнута-Мориса-Прата
эфемерное различие между задачами коммивояжёра и максимального паросочетания с минимальным весом
обобщённые функции

vovatroff

обобщённые функции
Что конкретно?
Там же много всего, есть красивые результаты, есть и техничные...

Waleri58

сама изначальная их идея, которая произвела на меня впечатление при первом знакомстве с ними.
а более глубоко я ними и не знакомился

vovatroff

Это да.
Например, что такое производная дельта-функции.
Основной мотив очень поучительный: для того, чтобы завести
в обиходе что-нибудь очень неприятное, сначала заведи достаточное
количество очень приятных объектов, на которых будешь отыгрываться.

NHGKU2

Великая теорема Ферма — очень просто формулируется и несоизмеримо сложно доказывается; занимала лучшие математические умы в течение почти 400 лет (доказана нашим современником); многие исследования, изначально планировавшиеся с целью ее доказательства, привели к самостоятельным красивым теориям и вообще дали толчок к развитию теории чисел. Да и теория эллиптических кривых, с помощью которой и было найдено доказательство, сама по себе очень красива.
Замечательная теорема Харди-Рамануджана об асимптотическом поведении функции p(n) — количества разбиений n в сумму положительных слагаемых. (Мистическим образом здесь возникают числа e и пи.) Кстати, есть и точная формула для p(n также найденная Харди и Рамануджаном, но она довольно безобразная, хотя сам факт ее наличия — это удивительно.
Наконец, можно отметить теорему о нормировках множества рациональных чисел Q: что существуют лишь две нормы на Q — обычная (модуль разности) и p-адическая.

Lokomotiv59

Мусорная тема, имхо.
Всю красоту теоремы Геделя развили философы, доказательство техническое, а главное, оно напрашивалось временем.
Обобщенные функции — стандартный математический прием. Точно также появились комплексные числа.
Динамическое программирование — о да, великая идея, запоминать выполненную работу.
А алгоритм поиска сильно связных компонент графа путем двукратного обхода в глубину гораздо красивее КМП.

Lokomotiv59

+1 по всем пунктам

vovatroff

Обобщенные функции — стандартный математический прием. Точно также появились комплексные числ
"Станки, станки..."
Нет в тебе чувства прекрасного...

sidorskys

На матане больше всего порадовала теорема о неявной функции: такая крупная.

Lene81

Теорема Штурма об отделении корней многочленов.

Lokomotiv59

Между прочим, это часть теоремы Тарского-Зайденберга об элиминации кванторов

Lene81

Между прочим, это часть теоремы Тарского-Зайденберга об элиминации кванторов
Чего-то умное сказал. А подробнее?

Lokomotiv59

В теории {R, +, *, 0, 1} выполнима элиминация кванторов, то есть любая формула эквивалентна некоторой бескванторной формуле.
Доказательство страшно техническое и, если можно так сказать, корявое

lenmas

По моему, основные теоремы арифметики и алгебры - жемчужины математики.
P.S. В качестве провокации. А что, теорему Ферма точно доказали? Вот специалисты по теории чисел что-то не уверены.

k11122nu

По моему, основные теоремы арифметики и алгебры - жемчужины математики.
то же самое хотел написать, но постеснялся: мало ли, вдруг у меня такое мнение лишь от необразованности

Xephon

Доказательство страшно техническое и, если можно так сказать, корявое

Есть элементарное и идейное доказательство, предложенное Ан.А.Мучником.

Xephon

Вот специалисты по теории чисел что-то не уверены.
Что за специалисты? Почему не уверены? Нашли ошибку?

Lokomotiv59

P.S. В качестве провокации. А что, теорему Ферма точно доказали? Вот специалисты по теории чисел что-то не уверены.
Я лично доказательство ниасилил, да и желания не было. Главное — бабки за доказательство отдали, так что "гуляй рванина" (c)
А впадать в демагогию что такое доказательство не собираюсь.

Waleri58

Динамическое программирование — о да, великая идея, запоминать выполненную работу.
А алгоритм поиска сильно связных компонент графа путем двукратного обхода в глубину гораздо красивее КМП.
ну, мы ведь не только красивые результаты, но и те, которые впечатление произвели.
дин. программирование когда-то произвело, КМП тоже, быстрая сортировка heapsort, кстати, тоже
сейчас это всё уже кажется простым... а алгоритм поиска сильно связных компонент с помощью противоположных обходов мне впервые стал знаком в виде обходов в ширину. и не так уж понравился. вариант обхода в глубину с отловом циклов нравился почему-то больше.

Lokomotiv59

Есть элементарное и идейное доказательство, предложенное Ан.А.Мучником.
Можно ссылочку ?
Ведь по сути теорема эквивалентна доказательству существования алгоритма, определяющего имеет ли система алгебраических уравнений решение, а такой алгоритм сам по себе довольно сложный.

Xephon

"Языки и исчисления" Шень, Верещагин, стр.123.

Lokomotiv59

Ну я про это доказательство и написал
Что ж в нем красивого ? Жесть, одно слово!

Sergey79

имхо круче всего метод регуляризации Тихонова

3deus

Самая красивая математическая теорема
----------------------------------------------------------
(1) Теорема Радона-Никодима из действительного анализа.
Пусть (X, M, \mu) - sigma-конечное измеримое пространство, Ф - sigma-аддитивная действительнозначная функция на M - ЗАРЯД. Пусть заряд Ф абсолютно непрерывен относительно меры \mu: заряд на множествах нулевой меры равен нулю.
Тогда существует такая интегрируемая по Лебегу функция f на X, что
заряд выражается через интеграл Лебега так: Ф(А) = /int_{A} f(x) /mu(dx).
При этом функция f определена с точностью до "почти всюду" относительно меры /mu.
(2) Теорема Германа Вейля.
Всякий модуль над полупростой алгеброй Ли полупрост, т.е. каждый подмодуль этого модуля обладает дополнительным подмодулем.
Как утверждения, так и доказательства этих теорем очень красивы и поучительны.

narkom

Обобщенные функции — стандартный математический прием. Точно также появились комплексные числа.
насчет обобщенных функций согласен, красивых доказательств вроде не много (я вообще не помню). Техника в основном.
Динамическое программирование — о да, великая идея, запоминать выполненную работу.
там же не в этом суть

Lokomotiv59

С википедии:
Идея динамического программирования состоит в разбиении задачи на несколько независимых подзадач, решении каждой из них, а затем вычислении исходного результата. Для решения подзадач этот же алгоритм применяется рекурсивно. При этом для каждой подзадачи запоминается вычисленный ответ, и если на каком-то шаге встретилась подзадача второй раз, то вычисления для нее не производятся.

Lene81

Кстати, мне ещё нравятся теоремы Фробениуса о телах над R и Веддербана о свойствах конечномерных алгебр с делением.

Waleri58

Идея динамического программирования состоит в разбиении задачи на несколько независимых подзадач, решении каждой из них, а затем вычислении исходного результата. Для решения подзадач этот же алгоритм применяется рекурсивно. При этом для каждой подзадачи запоминается вычисленный ответ, и если на каком-то шаге встретилась подзадача второй раз, то вычисления для нее не производятся.
кстати, по такой идее сортировку qsort тоже можно считать динамическим програмированием.
с другой стороны, на оптимальности подзадач основываются и т.н. жадные алгоритмы, но складывается впечталение, что сохранение подрешений в них не требуется.
но вот иногда говорят, что алгоритм Дейсктры основан на принципе жадного алгоритма, а тут сохранение есть. Если мы нашли путь до некоторой вершины, то больше его не улучшаем.
а вот в алгоритме Беллмана-Форда, напрямую использующем формулу Беллмана дин-го пр-я, сохранённый до вершины путь может быть улучшен в последующих итерациях.

luherstag

Только это не теорема, принцип скорее. Изоморфизм Карри-Ховарда (соответствие между типами выражений (программ) и конструктивными доказательствами)

lenmas

И скажите, пожалуйста: где это используется в народном хозяйстве?

manggol

только оно по какой-то причине не убеждает

это от человека зависит. одних убеждает, других нет. Странно что она
( фраусоболева) не требует попутно определить что такое вообще длина стороны, это было бы в духе.
Если бы все доказательства были такими, как хочет фраусоболева, их невозможно было бы читать, потому что каждое слово бы определялось до самых аксиом
фраусоболева - кохтпа от математики

Lokomotiv59

Ты не прав. Нормальные доказательства имеют свойство убеждать всех образованных людей.
Насчет определения длины скажу так (если еще не понятно): можно остановиться на том, что это
и так понятно, но при желании можно формализовать стандартным способом. Только от этого
"верхнеуровневая" часть доказательства не изменится. А ты попробуй формализовать понятие
размерности — и ты неизбежно придешь к доказательству через подобие.

griz_a

Не надо только рассказывать людям мысли других людей. Уж, наверное, не тебе судить, чего я хочу. Не надо путать вещи, легко сводимые к аксиоматике, неопределяемые понятия и вещи, в которых под "очевидным" прячется неочевидное. Если удосужиться прочитать тред, то можно заметить, что при расшифровке очевидного доказательства вспыла гладкость площадей подобных треугольников (или как там иначе-то все же? которая кажется очевидной именно из-за того, что мы знаем формулу площади треугольника, которая следует из теоремы пифагора.

Nefertyty

> Нормальные доказательства имеют свойство убеждать всех образованных людей.
Проверял? Возьми человека с высшим нематематическим образованием, и покажи что-нибудь.
Эти доказательства убеждают выпускников мехмата. Основная причина в том, что остальных на мехмат не берут или отчисляют.

griz_a

Ты прав, только если имеешь ввиду базу знаний. Если спуститься до известных человеку фактов, то от них доказательство будет убедительным

Nefertyty

Если спуститься до известных человеку фактов, то от них доказательство будет убедительным
Вряд ли ему известна мера Лебега.
А её введение на мехмате занимает семестр. Как ты убедишь нематематика тоже захотеть это понять?

griz_a

Отчасти поэтому я и не хочу так доказывать теорему пифагора
Доказательство через квадрат ничего этого не требует

manggol

что при расшифровке очевидного доказательства
так сказали же уже что это не строгое математическое доказательство. с этим же не спорит никто.

soldatiki

Самая красивая математическая теорема

количество людей на земле, у которых было нечетное число рукопожатий, четно

yurimedvedev

красивое док-во в студию!

Waleri58

количество людей на земле, у которых было нечетное число рукопожатий, четно
а если кто-то из них умрёт?

Xephon

Где она нужна, эта формулировка?

vovatroff

А зачем вообще тогда нужна теория чисел?
(я - не специалист, если что)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: